Анне Вески родилась в Рапла, Эстонская ССР 27 февраля 1956 года. Там же она окончила музыкальную школу, после которой поступила в Таллинский Политехнический институт. По окончании обучения была принята на работу в эстрадную студию при филармонии, где стала выступать с ансамблем «Мобиле».
Первая эстрадная композиция (1980) — «Королева розового сада».
В 1979—1981 годах Анне Вески пела в составе группы «Витамин», а в 1982—1983 годах выступала с ансамблем «Мюзик Сейф». В конце 1983 года она вошла в состав ансамбля «Нэмо».
В 1984 году на международном музыкальном фестивале в Сопоте Анне Вески получила две премии: за песню Позади крутой поворот и за лучшее исполнение польской песни Полька. В 1986 году впервые выходит в финал фестиваля «Песня года».
Исполнительница песен «Милый, горячо любимый» (1994), «Возьми меня с собой» (1981), «Радоваться жизни» (1985).
В начале 1990-х совместно с В. Довганем организовала пошив одежды из меха в Эстонии для продажи в Таллине и Москве.
В 1977—1981 была замужем за Яаком Вески (1956—1994), автором слов многих популярных эстонских песен. От этого брака родилась дочь Керли, работавшая в 2004—2007 гг. консулом Эстонской Республики в Москве.
Замужем вторым браком за Бенно Бельчиковым, который является её администратором. После заключения брака в течение полугода носила фамилию Бельчикова.