Анна Бессонова выросла в спортивной семье. Отец Анны — известный в прошлом футболист киевского «Динамо» Владимир Бессонов, а мать — чемпионка мира в групповых упражнениях по художественной гимнастике Виктория Бессонова. Старший брат Александр Бессонов — мастер спорта по большому теннису и личный менеджер Анны. Виктория Бессонова не собиралась отдавать дочь в гимнастику. Скорее видела ее на балетной сцене. Однако в пять лет дочь категорично[источник?] заявила, что хочет быть гимнасткой. Так под непосредственным руководством матери начались занятия художественной гимнастикой.
Анна Бессонова выступала в соревнованиях десять лет — с 1999 по 2009. Символично, что и первый, и последний для Анны чемпионаты мира прошли в Японии (Осака, 1999 и Миэ, 2009).
Начиная с 2002 года, стала лидером сборной Украины. На протяжении десятилетней спортивной карьеры Анна Бессонова прочно держалась в числе лидеров мировой художественной гимнастики.
В 2003 году Бессонова стала двукратной чемпионкой мира — с обручем (она исполняла упражнение под музыку из балета «Лебединое озеро», которое стало одним из лучших её упражнений) и с булавами. На этих соревнованиях Анна была близка к званию абсолютной чемпионки мира, но ошибка в упражнении с мячом сделала её второй.
Кроме того, в 2003 году Бессонова стала трёхкратной чемпионкой Европы — с обручем, мячом и лентой.
В 2004 году Бессонова стала бронзовым призёром Олимпийских игр в Афинах.
В 2005 году Бессонова выиграла сразу 6 серебряных медалей на чемпионате мира в Баку (многоборье, скакалка, мяч, булавы, лента, командное первенство).
21 сентября 2007 года Анна Бессонова стала абсолютной чемпионкой мира на проходившем в Патрах чемпионате мира. Самым удачным её выступлением стало упражнение с обручем под музыку из фильма «Аврора», после которого зрители аплодировали стоя и скандировали её фамилию.
В 2008 году Анна Бессонова стала бронзовым призёром Олимпиады в Пекине.
2009 год стал последним в карьере Бессоновой. Она выступила на чемпионате мира в Миэ, где выиграла три бронзовых (обруч, мяч, многоборье) и одну серебряную (лента) медали.
В послужном списке Анны Бессоновой немало весомых титулов — 2-кратная чемпионка мира в отдельных видах (обруч, булавы), обладательница золотых медалей на этапах Кубка мира, 3-кратная чемпионка Европы в отдельных видах многоборья (обруч, булавы, лента), абсолютная чемпионка мира 2007, дважды бронзовый призёр Олимпийских игр, а также многократный серебряный призёр чемпионатов мира и Европы.
В 2010 году состоялся Кубок Дерюгиной, на котором Анна Бессонова попрощалась со спортом. Анна представила прощальный показательный номер под песню Лары Фабиан «Je suis malade», растрогавший многих болельщиков.
Анна Бессонова запомнилась зрителям элегантностью, грацией, выразительностью и экспрессивностью своих выступлений, поэтому болельщики прозвали её The Queen of Elegance (Королева элегантности).