Аниш Капур родился в Бомбее, Индия. Посещал The Doon School в Dehra Dun. Переехал в Англию в 1972, где проживает с тех пор. Изучал искусство в Hornsey College of Art (Университет Мидлсекс) и в Chelsea School of Art Design. Аниш Капур работает в Лондоне, хотя часто посещает Индию.
В начале 1980-х Капур стал известен как один из членов группы «Новая британская скульптура». Произведения скульптора как правило просты, имеют изогнутые линии, монохромны и ярко окрашены. Ранние работы часто были покрыты пигментом, который покрывал работу и пол вокруг нее. Порой работы Аниша Капура имеют зеркальную поверхность, отражающую и искажающую зрителя и окружение. С конца 1990-х Капур создал ряд масштабных работ, включая Taratantara (1999), 35-метровое произведение, установленное в Baltic Flour Mills в Гейтсхеде, Англия и Марсий (2002), большая работа из стали и поливинила в Турбинном зале Галереи Тейт-Модерн. В 2000, одна из работ Капура Параболические воды, состоящая из вращающейся окрашенной воды, была показана в Лондоне. В 2001 Зеркало неба, большое зеркальное произведение, которое отражало небо и окружающее пространство, было установлено в Ноттингеме. В 2004 Врата облаков, 110-тонная стальная скульптура, торжественно открыта в парке «Миллениум» в Чикаго. Осенью 2006, другая зеркальная скульптура, также названная Зеркало неба, была показана в Рокфеллеровском центре в Нью-Йорке.
Капур представлял Великобританию на Венецианской биеннале в 1990, где ему была присуждена Premio Duemila; в следующем году он стал лауреатом Премии Тернера. Персональные выставки работ скульптора проходили в Галерее Тейт и Hayward Gallery в Лондоне, Kunsthalle Basel в Швейцарии, Национальном художественном музее королевы Софии в Мадриде, Национальной галерее в Оттаве, Музее современного искусства в Бельгии, CAPC Museum of Contemporary Art в Бордо и Centro Cultural Banco do Brasil в Бразилии. Его работы представлены в музеях всего мира, в том числе в Музее современного искусства в Нью-Йорке, Тейт-Модерн в Лондоне, Fondazione Prada в Милане, в Музее Гугенхейма в Бильбао, De Pont Foundation в Голландии и 21st Century Museum of Contemporary Art в Японии.
Орден Британской империи (2003).