Анхель Берни родился в районе Сан-Хосе в Асунсьоне. Он начал карьеру в клубе «Олимпия» из Асунсьона. С 1949 по 1951 год он выступал за основной состав команды. Оттуда футболист уехал в Колумбию, в клуб «Бока Хуниорс» из Кали. В составе этой команды футболист выиграл Кубок Колумбии.
В 1953 году Берни перешёл «Сан-Лоренсо», где выступал в нападении команды вместе с Хосе Санфилиппо и в одном сезоне с Рене Понтони. Уже на второй год в команде Анхель стал лучшим бомбардиром чемпионата, забив 19 голов в 30 матчах. В последний год в клубе Бени стал чемпионом Аргентины. Всего за клуб он провёл 71 матч и забил 29 голов.
В 1959 году, став чемпионом Аргентины, Берни перешёл в клуб «Химнасия и Эсгрима», проведя 14 игр и забив 6 голов. На следующий год он перешёл в испанский «Реал Бетис», где и завершил карьеру в 1964 году.
Также Берни выступал за сборную Парагвая. В 1950 году он поехал на чемпионат мира, но на поле не выходил. На чемпионате Южной Америки, где провёл все 6 игр и забил 4 гола, став третьим снайпером турнира; Парагвай впервые в своей истории стал чемпионом Южной Америки.