Родился в дворянской семье. Брат геолога К. И. Богдановича.
1880 — обучался в Киевском университете на медицинском факультете. Состоял членом народовольческого кружка.
1883 — выслан в Нижний Новгород, где познакомился с В. Г. Короленко.
1885 — сотрудничал в «Волжском Вестнике», «Казанском Биржевом Листке» и других приволжских изданиях.
1887 — постоянно проживает в Казани.
1893 — в Петербурге принимает деятельное участие в «Мире Божием», сначала как сотрудник критического и внутреннего отделов. Становится одним из организаторов народнической группы «Народное право», программа которой была изложена Богдановичем в 1894 в брошюре «Насущный вопрос», публикуется в «Русском богатстве».
1895 — член редакции журнала Мир Божий. Кроме небольших заметок и рецензий в библиографическом отделе, Богданович пишет ежемесячные «Критические заметки», которые заняли место в ряду наиболее читаемых литературных обозрений. Не примыкая всецело ни к одному из вполне определившихся течений современной его эпохе радикальной мысли, Ангел Иванович наиболее веские удары своего едкого полемического таланта направляет против реакционной и оппортунистской печати. В литературных вопросах Богданович сочувственно относится к тем проявлениям новоевропейского искусства и, в частности, символизма, в которых сказалось искреннее искание новых путей. Беспощадно воюет с декадентством и мистицизмом.
Со смертью А. А. Давыдовой — один из собственников журнала вплоть до его закрытия (1906).
1906 — постепенно отошёл от народничества. С 1906 редактировал журнал «Современный мир».