Андрей Бурлаков родился в посёлке Суйда — это место с богатым историческим прошлым, включённое ныне в Серебряное Пушкинское кольцо Ленинградской области. Ещё в школьные годы увлёкся историей родного края: записывал воспоминания старожилов, собирал реликвии прошлого, разнообразные документы, многим из которых суждено будет стать музейными экспонатами. Также принимал участие в работе краеведческого музея в селе Рождествено, заведующая которым Т. В. Вячеславова видела в Андрее своего преемника, а в 1983 году Бурлаков принял участие в съёмках документального фильма «Элегия» — картины о людях гатчинской земли, хранящих наследие края.
В 1983 году был призван в армию, служил в Монголии. Вернувшись, поступил в Ленинградский институт культуры имени Н. К. Крупской. Параллельно работал в хозчасти Гатчинского дворца-музея, затем возглавил Суйдинский дом культуры, находящийся на территории усадьбы Ганнибалов, где проработал директором 5 лет. При всём этом он находил время для серьёзных занятий краеведением, благодаря чему в бывшей усадьбе в 1986 году был открыт созданный им на общественных началах Музей истории Суйды. Открытие музея, центральными экспонатами которого стали материалы о бывших владельцах усадьбы — предках великого русского поэта, было приурочено к проведению первого областного Пушкинского праздника.
Андрей Бурлаков становится общественным корреспондентом районной газеты «Гатчинская правда», членом редколлегии историко-краеведческого альманаха «Приорат» и президиума Гатчинского отделения ВООПИиК, был избран народным депутатом местного Совета. В 1990 году его избирают в Правление Всесоюзного Пушкинского общества. Впоследствии он создаёт экспозицию Музея истории Сиверской, который открылся в ноябре 1992 года в помещении Сиверской школы-интерната, регулярно устраивает выставки в Гатчине и районе. В 1994 — 1997 годах издаёт культурно-исторический вестник «Сиверская летопись», а затем — «Гатчинский краеведческий вестник»; в 1996 году участвует в открытии музея истории учебных заведений Гатчины.
В 1999 году — 200-летнего юбилея А. С. Пушкина — правительством Ленинградской области было принято решение восстановить закрытый по причине аварии отопительной системы суйдинский музей, присвоив ему статус государственного; директором нового музея-усадьбы стал Андрей Бурлаков.
В начале 2008 года Андрей Вячеславович назначен директором вновь созданного муниципального учреждения культуры «Музей города Гатчины». В 2009 году Бурлаков стал инициатором создания нового историко-бытового музея «Дачная столица» в посёлке Сиверский.