Родился 27 марта 1951 года в Брюсселе в семье советского инженера, находившегося с семьёй в длительной командировке.
1968—1969 — работал слесарем-сборщиком на машиностроительном заводе «Коммунар».
В 1974 году — окончил МГИМО МИД СССР по специальности «Международные отношения».
1974—1979 — референт, старший референт Управления международных организаций МИД СССР.
Член КПСС с 1975 года по 1991 год.
В 1977 году защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата исторических наук на тему «Роль ООН в развитии разрядки».
1979—1980 — атташе Управления международных организаций МИД СССР
1980—1986 — третий, второй, первый секретарь Управления международных организаций МИД СССР.
1986—1988 — советник, руководитель отдела Управления международных организаций МИД СССР.
1988—1989 — заместитель начальника Управления международных организаций МИД СССР.
1989—1990 — начальник Управления международных организаций МИД СССР.
В составе советской делегации участвовал в работе Генеральной ассамблеи ООН.
11 октября 1990 года назначен Министром иностранных дел РСФСР.
Дипломатический ранг — Чрезвычайный и Полномочный Посол.
20 октября 1993 года указом Президента Российской Федерации назначен членом Совета Безопасности России.
С декабря 1993 года по январь 2000 года — депутат Государственной Думы Федерального Собрания Российской Федерации I и II созывов. Избирался по 116 одномандатному округу Мурманской области.
До 11 декабря 1994 года член фракции «Выбор России», после этого во фракции не входил.
В Государственной Думе I созыва — член Комитета по международным делам и член подкомитета по международному культурному, научному и гуманитарному сотрудничеству.
В Государственной Думе II созыва — член Комитета по бюджету, налогам, банкам и финансам (до 12 марта 1997 года) и член Комитета по проблемам Севера (с 12 марта 1997 года)
5 января 1996 года освобождён от обязанностей министра иностранных дел РФ по личной просьбе, в связи с избранием депутатом Госдумы РФ второго созыва.
В январе 1998 года избран членом совета директоров американской корпорации «ICN Рharmaceuticals».
С января 2000 года — вице-президент международной фармацевтической корпорации ICN — генеральный директор корпорации по Восточной Европе.
С 19 декабря 2007 года — председатель Совета директоров ОАО АКБ «Инвестторгбанк».
Член президиума Российского еврейского конгресса.
Женат третьим браком. Нынешняя жена Елена (р.1968, Москва), познакомилась с министром Козыревым в 1993, когда была секретарём-референтом МИД РФ, ныне домохозяйка. От этого брака есть сын Андрей (р.1999). От первого брака у Козырева есть дочь Наталья, училась в США, работает в России.
Козырев А. В. «Нет! — торговле смертью», 100 с. 16 см. М. Междунар. отношения, 1981.
Козырев А. В. «Огнестрельный бизнес: (Торговля империалист. стран оружием)», 64 с. 20 см, М. Знание, 1985.
Козырев А. В. «Торговля оружием: новый уровень опасности», : [Пер. с рус.], 197с., М. Прогресс, 1985.
Козырев А. В. «Мы и мир в зеркале ООН», 173с., М. Междунар. отношения, 1991.
Козырев А. В. "Организация Объединенных Наций: структура и деятельность, 52с; АПН, НИИ теории и истории педагогики, Ассоц. содействия ООН в СССР, 1991.