Андрей Васильевич Алёшин родился в деревне Новосёлки ныне Козельского района Калужской области в крестьянской семье. Русский. Работал председателем сельского совета, бухгалтером в совхозе. В Красной Армии в 1939 — 1940 годах, участвовал в советско-финской войне. В Великую Отечественную войну в декабре 1941 года вновь был призван в Красную Армию и направлен на фронт.
Был командиром орудийного расчета 175-го гвардейского артиллерийско-миномётного полка 4-й гвардейской кавалерийской дивизии 2-го гвардейского кавалерийского корпуса 1-го Белорусского фронта.
26 июля 1944 года Алёшин выкатил своё орудие в боевые порядки пехоты и прямой наводкой отразил атаку автоматчиков противника, а 27 июля в боях за город Мендзыжец-Подляски уничтожил 3 пулемёта противника и склад боеприпасов. 11 августа 1944 года был награждён орденом Славы 3-й степени.
28 января 1945 года у города Дандсбург ныне Венцборк (Польша) вместе со своим расчётом Алёшин отбил контратаку противника. При этом были уничтожены свыше десяти гитлеровцев и пулемёт. 30 января 1945 года расчётом Алёшина были отражены 3 атаки противника, уничтожены более 20 солдат и офицеров противника и 3 пулемёта. 11 марта 1945 года был повторно награждён орденом Славы 3-й степени (19 августа 1955 года был перенаграждён в соответствии со статутом ордена орденом Славы 1-й степени).
5 февраля 1945 года в боях юго-западнее Щецина расчёт Алёшина нанёс большой урон противнику, что способствовало успешному выполнению боевой задачи.
Звание Героя Советского Союза гвардии старшему сержанту Алёшину было присвоено 31 мая 1945 года.
В начале мая 1945 года расчёт Алёшина отбил три атаки противника, уничтожив два взвода противника и пулемёт. Когда закончились снаряды бойцы расчёта отбили ещё 5 атак ведя огонь из стрелкового оружия. 18 июня 1945 года Алёшин был награждён орденом Славы 2-й степени.
В 1945 году Алёшин был демобилизован, вернулся на родину. Работал в совхозе «Красный плодовод» главным бухгалтером.