Выходец из черногорской семьи (в документах официально значился сербом). Окончил шесть классов 3-й Белградской имени короля Александра Сербского гимназии. В 1899 был обвинён в причастности к покушению на бывшего короля Сербии Милана Обреновича и выслан из страны.
Переехал в Россию, с 1900 служил в 60-м Замосцком пехотном полку. Окончил Одесское пехотное юнкерское училище (1902). С 1902 — подпоручик, был переведён на Дальний Восток. Служил в 8-м Восточно-Сибирском стрелковом полку (1902—1905 и 1906—1910), 41-м Восточно-Сибирском стрелковом полку (1905—1906), 5-м Восточно-Сибирском стрелковом полку (1910—1913). В 1905 участвовал в русско-японской войне. С 1906 — поручик, с 1910 — штабс-капитан. В 1913 был уволен в отставку по болезни, работал коммивояжёром «Русско-монгольского торгового товарищества» в Монголии.
С началом Первой мировой войны вступил в пешее ополчение, затем переведён в 56-й Сибирский стрелковый полк. Участвовал в Лодзинской операции в 1914. Первоначально командовал ротой, затем принял командование батальоном. 3-5 ноября 1914 во главе батальона в течение трёх суток под деревней Щавин-Костельный близ города Гомбин отбивал атаки превосходящих сил германских войск и сумел удержать позицию. За это позднее был награждён Георгиевским оружием. В декабре 1914 был ранен в бою у города Сохачев.
30 мая 1915 в бою на территории Польши совершил подвиг, за который был удостоен ордена св. Георгия 4-й степени:
Был произведён в капитаны и подполковники. В апреле 1916 был переведён в 53-й Сибирский стрелковый полк, участвовал в наступлении на Бауск на Северном фронте. С декабря 1916 — полковник, в том же месяце был контужен. В январе 1917 назначен командиром 55-го Сибирского полка. Но уже в апреле того же года, после Февральской революции, был отчислен от должности по требованию солдат, недовольных его требовательностью.
Весной 1918 был начальником гарнизона города Самары в составе Красной армии. Одновременно входил в состав подпольной офицерской организации. Летом 1918, после занятия Самары Народной армией Комитета членов Учредительного собрания, вступил в эту армию. Руководил её отрядами, действовавшими в Сызранском районе, а с 24 июля 1918 был начальником 2-й стрелковой дивизии. Одновременно командовал войсками Народной армии Бузулукского района.
В феврале 1919 — январе 1920 — командир 4-го Оренбургского армейского корпуса Оренбургской армии белых. Численный состав корпуса (2047 штыков, 2707 сабель, 90 пулемётов, 5 орудий) лишь немного превышал численность пехотного полка мирного времени. В апреле 1919 был произведён в генерал-майоры. «За личную храбрость и услуги, оказанные войску» был зачислен в казаки Оренбургского казачьего войска вместе со своим начальником штаба полковником (затем генерал-майором) И. И. Смольниным-Тервандом.
Генерал А. И. Дутов в апреле 1919 дал следующую аттестацию Бакичу:
Во главе корпуса участвовал в боях под Белорецким заводом, Верхнеуральском, станицами Магнитной, Кизильской и др. (июль—сентябрь 1919). Командовал корпусом с переменным успехом. В ноябре-декабре 1919 возглавил отступление корпуса на Атбасар и Кустанай, получившее название «Голодный поход». В период этого похода Оренбургской армии в Семиречье она была деморализована. Название «Голодный поход» происходит как от Голодной степи, по которой он проходил, так и от общих трагических условий: многие военнослужащие и члены их семей погибли от голода, холода, истощения и тифа.
Был произведён А. И. Дутовым в генерал-лейтенанты. В марте 1920 во главе Оренбургского отряда (бывшая Оренбургская армия) (свыше 10 тысяч человек) перешёл китайскую границу у города Чугучак и был интернирован в Синьцзяне. В 1921 после убийства генерала А. И. Дутова стал командующим армией, численность которой уже в 1920 резко сократилась: около 6 тысяч человек вернулись в Россию, а часть получила разрешение выехать на Дальний Восток. Приложил много усилий дл восстановления дисциплины в своих войсках. По воспоминаниям одного из участников событий, «дисциплина в отряде Бакича была суровая, поддерживаемая телесными наказаниями, арестами и расстрелами за побег и агитацию против власти Бакича».
В апреле 1921 к отряду присоединилась отошедшая из Сибири повстанческая Народная дивизия хорунжего (затем полковника) Токарева (около 1200 человек). В мае 1921 из-за угрозы окружения красными отряд, возглавляемый А. С. Бакичем, двинулся на восток в Монголию через безводные степи Джунгарии (некоторые историки называют именно эти события Голодным походом). Основным лозунгом Бакича был: «Долой коммунистов, да здравствует власть свободного труда». В программе Бакича говорилось, что
У реки Кобук почти безоружный отряд (из 8 тысяч человек боеспособных было не более 600, из которых только треть вооружена) прорвался сквозь заслон красных, дошёл до города Шара-Сумэ и захватил его после трехнедельной осады, потеряв более 1000 человек. В начале сентября 1921 свыше 3 тысяч человек сдались здесь красным, а остальные ушли в Монгольский Алтай. После боёв в конце октября остатки корпуса сдались под Улангомом «красным» монгольским войскам, в 1922 году были выданы в Советскую Россию. Большинство из них были убиты или умерли по дороге, а А. С. Бакич и ещё 5 офицеров (генерал И. И. Смольнин-Терванд, полковники С. Г. Токарев и И. З. Сизухин, штабс-капитан Козьминых и корнет Шегабетдинов) в конце мая 1922 были расстреляны после судебного процесса в Новониколаевске.