Родился 31 августа 1811 г., получил образование и Морском кадетском корпусе, в службу вступил 22 марта 1829 г. гардемарином, в 1831 г. был произведён в мичманы, до 1836 г. был вахтенным офицером брига «Парис».
6 апреля 1836 г. был произведён в лейтенанты и в том же году награждён орденом св. Станислава 4-й степени. Никонов рано обнаружил свои блестящие способности в морском деле; уже в 1838 г. был переведён из 10-го в 32-й флотский экипаж с назначением адъютантом к начальнику штаба Черноморского флота и и том же году получил боевое крещение, приняв участие в экспедиции контр-адмирала Хрущова, в частности в делах с горцами, находясь в десанте, высаженном в Шапсухо, за что был награждён орденом св. Анны 3-й степени с мечами и бантом.
В эскадре контр-адмирала Хрущова он находился на линейном корабле «Силистрия» и в следующем году и принимал участие в боевых действиях.
В 1842 г. награждён орденом св. Владимира 4-й степени.
В 1846 г. Никонов был произведён в капитан-лейтенанты, а через два года переведен в 44-й флотский экипаж, с назначением командиром парохода-фрегата «Херсонес»; в 1852 г. командовал корветом «Ариадна», который и марте 1854 г. сдал, по Высочайшему повелению, греческому правительству, а сам поспешил вернуться сухим путем в Севастополь. Назначенный командующим 15-м флотским экипажем и командиром линейного корабля «Варна», он за отличие был произведён в капитаны 1-го ранга.
Вскоре принял участие в обороне Севастополя и за выказанную доблесть получил золотую саблю с надписью «за храбрость», ордена св. Георгия 4-й степени, св. Анны 2-й степени с мечами и св. Владимира 3-й степени с мечами.
Годы 1859—1860 Никонов провёл в плавании по Каспийскому морю, где между прочим ведал перевозкой войск с Кавказа в Астрахань.
15 января 1863 г. Никонов был переведён в Одессу капитаном карантинного порта и в следующем году произведён в контр-адмиралы.
Назначенный в январе 1865 г. командиром Севастопольского порта, он занимал эту должность до упразднения её, то есть до декабря 1866 г., в 1867 г. награждён орденом св. Станислава 1-й степени.
В октябре 1868 г. Никонов получил назначение состоять председателем Николаевского военно-морского суда, 17 апреля 1870 г. получил орден св. Анны 1-й степени с мечами.
8 апреля 1873 г. Никонов был произведён в вице-адмиралы, в марте 1876 г. назначен Севастопольским градоначальником, командиром порта и комендантом, а в ноябре этого года начальником приморской обороны Севастополя, с подчинением ему береговых батарей, минных заграждении и всех судов в порту.
6 января 1877 г. награждён орденом св. Владимира 2-й степени а 21 октября — орденом Белого Орла.
С 30 августа 1882 г. начинается служба Никонова в Главном военно-морском суде в качестве его члена, в 1883 г. он награждается орденом св. Александра Невского, а в 1889 г. получает бриллиантовые знаки к этому ордену; произведённый 21 апреля 1891 г. в адмиралы, он 8 октября был назначен председателем этого суда, но дни его были уже сочтены: 25 ноября того же года он скончался и был погребён на Новодевичьем кладбище.
Андрей Иванович был женат на Софье Николаевне Кумани (1830-1889).