А. Е. Боровых родился 30 октября 1921 года в городе Курске в семье рабочего. Русский. В 1936 году окончил среднюю школу. Член ВКП(б)/КПСС с 1943 года.
В рядах Красной армии с 1940 года. Окончил Чугуевское военное авиационное училище в 1940 году.
С декабря 1941 года на фронтах Великой Отечественной войны.
За два года войны (1942 и 1943) на Калининском и Центральном фронтах совершил 341 боевой вылет, проявляя в воздушных боях мужество и отвагу, лично сбил 12 самолётов противника и 14 самолётов в группе. За эти подвиги командиру звена 157-го истребительного авиационного полка (273-я истребительная авиационная дивизия, 6-й истребительный авиационный корпус, 16-я воздушная армия, Центральный фронт) младшему лейтенанту Боровых Андрею Егоровичу Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 августа 1943 года присвоено звание Героя Советского Союза, с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 1077).
За образцовое выполнение заданий командования, совершённые ещё 132 успешных боевых вылета, в которых было сбито 19 самолётов противника, проявленный при этом героизм командир эскадрильи 157-го истребительного авиационного полка (234-я истребительная авиационная дивизия, 6-й истребительный авиационный корпус, 16-я воздушная армия, 1-й Белорусский фронт) капитану Боровых Андрею Егоровичу Указом Президиума Верховного Совета СССР от 23 февраля 1945 года вручена вторая медаль «Золотая Звезда» Героя Советского Союза (№ 62).
Всего за годы войны он совершил более 470 боевых вылетов, провёл свыше 130 воздушных боёв, сбил лично 32 и в группе 14 вражеских самолётов.
По окончании войны Боровых командовал авиационным полком, дивизией, корпусом. В 1951 году окончил Военно-воздушную академию, а в 1957 году Высшую военную академию.
С 1959 по 1969 год командовал авиационными объединениями. В 1968 году присвоено воинское звание генерал-полковник авиации. В 1969—1977 годы — командующий авиацией Войск ПВО СССР.
С 1977 по 1988 год военный консультант Института военной истории МО СССР.
Депутат Верховного Совета СССР 2-го созыва. Заслуженный военный лётчик СССР (1966). Автор научных статей "Новая техника, оружие и человек" (1972 год), "Надёжный щит Родины" (1985 год) и других. 7 ноября 1989 года в Москве Боровых трагически погиб (убит хулиганами). Похоронен на Новодевичьем кладбище.