Андрей Туркин родился 21 октября 1975 года в Орске. Андрей рос без отца, поэтому рано научился мастерить, пилить, строгать. Во время учёбы в школе Андрей занимался рукопашным боем в школьной секции и пел в хоре. После восьмого класса, желая помочь матери, Андрей ушёл из школы, поступив в СПТУ № 63, которое закончил по специальности «водитель-слесарь».
В декабре 1993 года Туркин был призван на срочную службу в Вооруженные Силы. Там он попал в Пограничных войсках в Таджикистане, где принимал участие в боевых действиях на таджико-афганской границе. В июле 1995 года Туркин был уволен в запас в звании сержанта, после чего вернулся в Краснодарский край, где работал и учился в институте.
В апреле 1997-го года Андрей Туркин поступил на службу в Управление «В». В рядах «Вымпела» Туркин участвовал в боевых действиях на территории Чечни и операции по освобождению заложников на Дубровке.
Вместе с группой «Вымпел» Туркин прибыл в город Беслан Республики Северная Осетия — Алания, в котором 1 сентября 2004 года группа в составе 32-х террористов захватила свыше тысячи детей и взрослых в здании школы № 1.
После того как на третий день в спортзале, где содержались большинство заложников, произошли взрывы, вызвавшие частичное обрушение крыши и стен спортзала, выжившие люди стали разбегаться. Штурмовая группа Андрея получила приказ на штурм здания, так как боевики открыли ожесточённый огонь по заложникам. Еще в начале штурма Туркин получил ранение, когда он в составе своего подразделения под мощным огнём боевиков ворвался в здание школы, но не вышел из боя. Прикрывая огнём спасение заложников, лейтенант Туркин лично уничтожил одного террориста в столовой, куда боевики перегнали многих выживших после взрывов в спортзале заложников. Когда другой бандит бросил в скопление людей гранату, Андрей Туркин накрыл её своим телом, ценой собственной жизни сохранив заложников.
За мужество и героизм, проявленные при выполнении специального задания Указом Президента Российской Федерации от 6 сентября 2004 года лейтенанту Туркину Андрею Алекcеевичу посмертно присвоено звание Героя Российской Федерации (медаль № 830).
Похоронен на Николо-Архангельском кладбище г. Москвы.
На родине Героя в городе Орске в Сквере Героев на Аллее Славы установлен бюст Героя России. Имя Героя Российской Федерации лейтенанта Андрея Туркина присвоено кадетскому классу Орской кадетской школы № 53.
В Краснодарском крае, в станице Динской, МОУ СОШ №1 носит его имя. Также перед входом в школу установлена мемориальная доска.
Жена — Наталья. Сыновья — Вячеслав (2001 г.р.) и Андрей (родился через пять месяцев после смерти отца и был назван в его честь).