Родился 4 (16) июня 1898 года в Москве в многодетной семье служащего немецкого происхождения. Окончил частное реальное училище Воскресенского.
В 1915 году поступил в Императорское Московское техническое училище (ныне Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана). В 1918 году был призван в армию, служил в 1-м запасном телефонно-телеграфном батальоне, работал в авторемонтных мастерских. В 1921 году откомандирован для продолжения учебы в МВТУ. В 1925 году окончил МВТУ.
С 1925 по 1933 работал в Центральном научно-исследовательском автомобильном и автомоторном институте (НАМИ), принимая активное участие в создании первых советских автомобилей — легкового НАМИ-1, трехосного грузового автомобиля прототипа ГАЗ-ААА, первого советского троллейбуса ЛК-1 и других, сначала чертежником-конструктором, а затем стал главным конструктором автомобильного отдела.
С 1933 по 1951 — главный конструктор Горьковского автомобильного завода (ГАЗ). Под его руководством и при непосредственном участии было разработано и построено 67 экспериментальных моделей, из которых в производство пошли 27.
В 1951 году он был снят с должности главного конструктора, а в 1952 году отправлен рядовым инженером-конструктором в Миасс на Уральский автомобильный завод. По его предложению и при его активном участии была произведена коренная модернизация грузового автомобиля УралЗИС-5.
В 1953 году Липгарт вернулся в Москву, стал заведующим кафедрой «Автомобили» в МВТУ (преобразуется в кафедру «Колесные машины»), одновременно возвратился в НАМИ, где работал в качестве главного конструктора института, а затем — заместителя директора по научно-экспериментальной работе. Под его руководством было проведено значительное количество работ, определивших техническую политику и перспективы развития отечественной автомобильной промышленности: разработка перспективных типажей отечественных автомобилей и двигателей на 50-е и 60-е годы, создание прототипов семейства мощных V-образных четырехтактных дизелей, выпускаемых Ярославским моторным заводом (ЯМЗ), грузового трехосного автомобиля высокой проходимости для Уральского автозавода, создание карбюраторного двигателя с воздушным охлаждением для легковых автомобилей «Запорожец» и ряд других работ.
27 января 1960 года Липгарту без защиты присвоена степень доктора технических наук.
Большую научную работу А. А. Липгарт сочетал с педагогической деятельностью, подготовкой инженерных и научных кадров. Являлся членом научно-технических советов Министерства автомобильной промышленности, НАМИ и других организаций, членом ученых советов ряда ВУЗов и Высшей аттестационной комиссии.
Автор более 70 печатных трудов и научный редактор большого количества монографий и учебников по теории, расчету и конструкции автомобилей и двигателей.
Скончался 20 марта 1980 года в Москве.
Похоронен на Введенском кладбище в Москве. На могильной плите высечен силуэт автомобиля ГАЗ-М20 «Победа».
Жена — Анна Панкратьевна (1902—1973), четверо детей.
Внук, Андрей Александрович Липгарт (р. 1970) — известный российский филолог, преподаватель МГУ, доктор филологических наук.
Н. А. Астров, заместитель Липгарта по спецпроизводству (1941—1943):
М. С. Мокеев, начальник лаборатории испытаний легковых автомобилей КЭО-УКЭР ГАЗ: