Кузнецов — первый и единственный в истории российского тенниса победитель юниорского турнира Большого шлема в одиночном или парном разряде. Это первый подобный успех представителя России с 1966 года, когда чемпионом «Ролан Гарроса» и «Уимблдона» становился москвич Владимир Коротков.
Начал заниматься теннисом в 7 лет в Туле. Тренер — отец, Александр Юрьевич Кузнецов, выпускник ГЦОЛИФК (ныне РГУФКСиТ), преподаватель в РГУФКСиТ. В 2001 году семья переехала в Балашиху, где Александр Кузнецов стал одним из тренеров СК «Балашиха», а Андрей вместе со старшим братом Алексеем продолжил тренировки под руководством отца. В 2008 году поступил в РГУФКСиТ.
В юношеском возрасте имел серьёзные проблемы с позвоночником; для продолжения спортивной карьеры прошёл болезненный курс мануальной терапии.
В 2004 году на первенстве Московской области в возрастной категории до 14 лет занял 2 место, на командном первенстве Московской области в категории до 16 лет завоевал первое место в составе команды Балашихи.
В одиночном разряде с февраля 2006 года по июль 2009 года принял участие в 31 юниорском турнире ITF. 80 побед, 24 поражения. Победил на турнирах в Ташкенте, Сочи (2007), Стокгольме, Кастрикюме, Эссене (2008), Монастире, а также на Уимблдоне (2009).
В парном разряде с июня 2006 года по апрель 2009 года принял участие в 26 турнирах, в матчах одержал 41 победу и потерпел 22 поражения. Победы на турнирах в Гамбурге, Киеве (2007), Стокгольме и Кап-д’Ай (2008).
Наивысшая позиция в общем юниорском рейтинге ITF — 3 (6 июля 2009).
Входил в состав юниорской сборной России. Четырежды, с 2005 по 2008 годы награждался стипендией Б. Н. Ельцина.
В июле 2010 в составе команды Московской области победил в теннисном турнире II спартакиады молодёжи России.
Первым взрослым турниром, в котором принял участие Кузнецов, был «фьючерс» в посёлке Мосрентген, Московская область, который состоялся в ноябре 2006 года. Получив персональное приглашение (уайлд-кард) в квалификацию, Андрей прошёл первый круг квалификационного турнира и проиграл во втором.
Во взрослый теннис Кузнецов вернулся через полтора года, сыграв в мае 2008 года в квалификации «фьючерса» в Балагере (Испания). До июля 2009 года Андрей выступал как на юниорских соревнованиях, так и в профессиональных турнирах. Уже на следующем своём взрослом турнире, «челленджере» в Саранске (июль — август 2008), на который он получил уайлд-кард, Кузнецов дошёл до четвертьфинала. Затем последовали выступления во «фьючерсах» (лучший результат — четвертьфиналы на турнирах в Москве и Волгограде), а в октябре Андрей принял участие в квалификации «Кубка Кремля», где проиграл во втором круге Михаилу Кукушкину.
В парном разряде принял участие в единственном турнире — «фьючерсе» в Сергиевом Посаде, вместе со Станиславом Вовком. Выиграв матч первого круга, Вовк и Кузнецов вышли в четвертьфинал.
Не самым удачным образом выступив в январе и феврале на «фьючерсах» в Швибердингене и Эйлате, в марте Кузнецов вышел в финал турнира категории «фьючерс» в Каире. Неделю спустя Андрей выиграл свой первый титул во взрослом теннисе, победив вместе с Робертом Варгой (Венгрия) в парном разряде «фьючерса» в Суэце. На следующей неделе состоялся ещё один «фьючерс» в Каире, где Кузнецов достиг полуфинала.
В июне Андрей выиграл свой первый одиночный титул во взрослом теннисе, одолев в финале турнира в Местре итальянца Маттео Виолу. Вслед за этим Кузнецов принял участие в своём последнем юниорском турнире — «Уимблдоне», где 5 июля в финале он победил представителя США Джордана Кокса. С учётом победы в первом круге «фьючерса» в Модене, Андрей в июне — июле 2009 года выиграл подряд двенадцать матчей в турнирах ITF.
После Уимблдона Кузнецов принял решение закончить выступления в юниорских турнирах и сосредоточиться на профессиональной карьере.
В конце июля Кузнецов принял участие в своём втором «челленджере», в Орбетелло, на который получил уайлд-кард в одиночный и парный разряд. В одиночном разряде проиграл в первом круге, в то время как в паре с Федерико Гайо (Италия) вышел в полуфинал вследствие отказа соперников во втором круге.
Свой второй одиночный титул Кузнецов выиграл в августе на турнире в Москве, обыграв в решающем матче Жонатана Эйссерика, а третий — в начале октября в Астане, победив в финале Андрея Куманцова.
Первым выступлением в основной сетке турнира АТП для Андрея Кузнецова стал Кубок Кремля 2009, на который он получил персональное приглашение организаторов. Первый матч провёл 20 октября против 50-й ракетки мира Фабриса Санторо, который старше Андрея почти на 19 лет, и проиграл со счётом 6–4, 2–6, 2–6.
Андрей также получил приглашение на «Санкт-Петербург Опен», который прошёл с 25 октября по 1 ноября 2009 года. На этом турнире он одержал свою первую победу в рамках ATP-тура — над 79-й ракеткой мира Марселем Гранольерсом — 6–74, 7–66, 6–4. Во втором круге последовало поражение в двух сетах от Сергея Стаховского.
Завершающим турниром в 2009 году для Кузнецова стал «челленджер» в Ханты-Мансийске, на котором в одиночном разряде он дошёл до полуфинала, а в парном, выступая с Евгением Кирилловым, проиграл в финале братьям Гранольерс.
В декабре капитан сборной России на Кубке Дэвиса Шамиль Тарпищев объявил о том, что собирается включить Андрея в состав команды на матч 1/8 финала против Индии.
Несмотря на попадание по рейтингу в число участников квалификации Открытого чемпионата Австралии, Кузнецов принял решение отказаться от участия в турнире Большого шлема из-за отсутствия достаточного времени на подготовку.
В начале года от федерации тенниса Казахстана поступило предложение финансовой поддержки в при условии принятия казахстанского гражданства. Однако вмешательство Шамиля Тарпищева, организовавшего финансовую поддержку молодому теннисисту, которая выразилась, в частности, в выделении ему администрацией Московской области квартиры в Балашихе, закрыло вопрос о смене гражданства.
В начале марта Кузнецов был впервые включён в состав сборной России на Кубок Дэвиса.
В марте была одержана победа на «фьючерсе» в Алма-Ате. В финале Кузнецов обыграл австрийца Александера Пейу. В апреле на «фьючерсе» в Верчелли Андрей Кузнецов с Ильёй Беляевым победили в финале аргентинскую пару Арангурен/Фаббри.
В интервью, которое Шамиль Тарпищев дал после турнира «Ролан Гаррос», он объявил о готовности всех сильнейших теннисистов России сыграть в матче 1/4 финала Кубка Дэвиса против Аргентины и назвал Кузнецова одним из кандидатов в состав команды, однако в итоговую заявку Кузнецов не попал.
В начале июня оргкомитет Уимблдонского турнира объявил о том, что прошлогодний победитель в юниорском разряде Андрей Кузнецов получит персональное приглашение в основную сетку. Вместо участия в квалификации «Уимблдона» Андрей заявился на травяной турнир АТП-тура «АЕГОН Интернэшнл» в английском Истборне, где успешно пробился в основную сетку. В первом круге он встречался с другим победителем квалификации японцем Кэй Нисикори, который отказался от борьбы, проигрывая со счётом 4–6 1–3. Во втором круге его соперник, третий сеяный, 32-я ракетка мира Жиль Симон имел безоговорочное преимущество в первом сете, однако во втором завязалась равная борьба, и на тай-брейке успех праздновал Кузнецов. Равная игра продолжилась в третьем сете, оба соперника взяли свои подачи. Тай-брейк увереннее провёл Симон, итоговый счёт — 6–1 63–7 7–62.
На Уимблдонском турнире Андрей Кузнецов проиграл в первом круге 38-й ракетке мира Виктору Ханеску в упорном пятисетовом поединке — 64–7 7–63 6–3 1–6 7–5.
В конце июня — начале июля на «фьючерсе» в Касселе дошёл до финала как в одиночном разряде, так и в парном. Три недели спустя вышел в финал «челленджера» категории SERIE+ в Познани в одиночном разряде и во второй круг в парном. На следующей неделе принял участие в «челленджере» в Саранске, где достиг полуфинала как в одиночном, так и в парном разряде. В августе — октябре Кузнецов выступил на пяти турнирах категории «челленджер», но одержал лишь одну победу в основной сетке.
На Кубке Кремля Кузнецов прошёл квалификацию и в матче 1/16 финала уступил другому победителю квалификации румыну Виктору Кривому. Тогда же состоялся первый матч Андрея в туре АТП в парном разряде. Получив от организаторов уайлд-кард, Андрей Кузнецов и Теймураз Габашвили 20 октября обыграли со счётом 6–2 6–3 пару Андрей Голубев / Денис Истомин. В четвертьфинале последовало поражение в двух сетах от другой пары, приглашённой оргкомитетом, — Куницын / Турсунов.
На турнире «Санкт-Петербург Опен» не удалось защитить прошлогодние очки. В первом же матче Кузнецов в двух сетах уступил соотечественнику Евгению Донскому. В результате Кузнецов откатился со 163 позиции, которую занимал в августе, на 208-ю по итогам года.
Сезон Кузнецов начал с участия в квалификационном турнире Открытого чемпионата Австралии, где проиграл в первом раунде. Затем последовали выступления на грунтовых кортах: в начале февраля на «фьючерсе» в испанской Мурсии, а затем в феврале и марте на трёх марокканских «челленджерах». Лучшим результатом стал выход в четвертьфинал в Касабланке в одиночном и в парном разряде; на остальных турнирах не удалось одержать ни единой победы в парном разряде и не более одной — в одиночном.
В начале апреля Андрей принял участие в турнире Grand Prix Hassan II категории 250 (Касабланка), где сначала успешно прошёл квалификацию, отдав соперникам в трёх матчах лишь девять геймов, а затем в матче первого круга одолел ещё одного победителя квалификации, испанца Гутьерреса-Ферроля. В матче второго круга Кузнецов встретился со вторым сеяным, 26-й ракеткой мира Маркосом Багдатисом, и победил его в трёх сетах. В четвертьфинале соперником Андрея был обыгравший его на Уимблдоне-2010 румын Виктор Ханеску, занимавший 58 место в рейтинге и сеянный на турнире восьмым. В первой партии россиянин отыгрался после счёта 0–4, во второй вёл 3–0, но в итоге уступил 7–61 5–7 2–6.
На проходящий две недели спустя турнир Barcelona Open Banco Sabadell 2011 категории 500 Кузнецов получил от организаторов персональное приглашение в основную сетку. В первом круге он встречался с Эдуаром Роже-Васселином и проиграл в двух сетах. На следующем турнире BMW Open 2011 в Мюнхене Андрей пробился в основную сетку через квалификацию и уступил в первом круге соотечественнику Николаю Давыденко, будущему победителю, со счётом 1–6, 64–7.
Затем последовали не очень успешные выступления на «челленджере» в Загребе (выход из квалификации в первый круг) и на «Ролан Гарросе» (поражение в третьем круге квалификации). Неудачи продолжились в ходе травяного сезона: поражение в первом круге квалификации в Халле, во втором круге квалификации в Истборне и на Уимблдонском турнире. Во ходе выступления в Лондоне россиянин заявил о том, что он намерен сделать паузу, чтобы лучше подготовиться к выступлениям на харде во второй половине сезона.
Патрик Муратоглу, основатель теннисной школы Mouratoglou Tennis Academy, выделяет у Кузнецова плоские удары, а также умение проводить отдельные розыгрыши на высоком уровне. Также он отмечает прекрасный бэкхенд и стремление выходить вперёд при розыгрыше мяча. В качестве компонентов, которые требуют улучшения, называются координация и физическая сила, точность ударов, а также движение по корту.
Принял участие в 10 турнирах, в том числе в 9 — в основной сетке. Наилучший результат — выход в четвертьфинал (Grand Prix Hassan II 2011). Соотношение побед и поражений — 16–10, в том числе в квалификационных матчах — 12–1 (4 выхода в основную сетку), в основной сетке — 4–9.
В парном разряде выступил на «Кубке Кремля 2010» вместе с Теймуразом Габашвили, соотношение побед и поражений 1–1.
Достижения в турнирах категории «фьючерс»: титулы в Местре, Москве, Астане (все — 2009) и Алма-Ате (2010), финалы в Каире (2009) и Касселе (2010). В турнирах категории «челленджер» доходил до полуфинала в Ханты-Мансийске (2009) и Саранске, финала в Познани (оба — 2010).
Всего в одиночном разряде принял участие в 49 турнирах, одержал 83 победы и потерпел 45 поражений (включая выступления в квалификациях).
В парном разряде с сентября 2008 года принял участие в 22 турнирах, одержал 28 побед и потерпел 19 поражений. Победы в турнирах категории «фьючерс» в Каире, Теплице (оба — 2009) и Верчелли (2010), финал в Касселе (2010), полуфиналы на турнирах категории «челленджер» в Орбетелло (2009) и Саранске (2010), финал в Ханты-Мансийске (2009).