Богуш родился в городском поселке Кореличи (ныне Гродненская область). После окончания школы рабочей молодежи в Москве поступил на физико-математический факультет БГУ, который окончил с отличием в 1952. После нескольких лет преподавания в Могилевском пединституте, он в 1957 поступил в аспирантуру Института физики АН БССР, где начал работу под руководством академика Ф.И. Федорова. В 1963 Богуш успешно защитил кандидатскую диссертацию, а в 1974 — докторскую (это была первая защищённая в Беларуси докторская диссертация, посвящённая физике элементарных частиц). В 1978 он создал в институте Лабораторию физики высоких энергий, которую возглавлял до 2004. Одновременно в 1976-97 он преподавал на физическом факультете БГУ, читал лекции по теории классических и калибровочных полей.
Богуш подготовил 12 кандидатов и 4 доктора наук. Он входил в состав редколлегий нескольких научных журналов, являлся членом советов по защите диссертаций.
Работы Богуша посвящены теоретической физике и физике элементарных частиц и высоких энергий. Используя обобщенные групповые и алгебраические подходы, им были разработаны эффективные методы расчета амплитуд рассеяния частиц, дана формулировка теории частиц со спином в ковариантной форме, предложен метод обобщенных символов Кронекера. На этой основе была развита последовательная трактовка теории классических полей (в том числе свободных и взаимодействующих), которая содержит простую схему описания процессов электрослабого взаимодействия. Развитый подход был применен для расчета характеристик конкретных ядерных реакций с учётом поляризации частиц и их возможной внутренней структуры. Цикл работ «Классическая полевая теория элементарных частиц» был удостоен Государственной премии БССР в 1988.
Ряд результатов Богуша получен в сотрудничестве с учеными из ОИЯИ в Дубне, Института физики высоких энергий в Серпухове, Физического института им П. Н. Лебедева, Института ядерных исследований РАН в Москве, CERN в Женеве. В частности, были установлены закономерности множественного рождения частиц, измерены сечения гиперзарядообменных реакций и параметры, свидетельствующие о сложной внутренней структуре частиц. Ряд работ был посвящён испытаниям калориметров для Большого адронного коллайдера.
Много внимание Богуш уделял также истории развития физики в XX-м веке.