А. П. Богданов родился в 1834 году в Нижнедевицком уезде Воронежской губернии (настоящая его фамилия неизвестна — он был подкидышем). Среднее образование получил в воронежской гимназии, где окончил курс в 1851 году, после чего поступил на физико-математический факультет Московского университета, на отделение естественных наук. В 1855 году окончил курс кандидатом и получил серебряную медаль за сочинение по геологии. В 1856 году выдержал магистерские экзамены и с этого года до 1857 состоял преподавателем в земледельческой школе Императорского общества сельского хозяйства. В 1857 году отправился за границу.
В 1858 году Богданов защитил диссертацию на степень магистра зоологии на тему «О цветности пера птиц» и был назначен исправляющим должность адъюнкта по кафедре зоологии в Московском университете. В 1859 году он совершил вторую поездку за границу для осмотра зоологических садов и музеев Берлина, Лейдена, Брюсселя, Лондона и Парижа; в 1863 получил звание исправляющего должность экстраординарного профессора: с 1865 по 1866 годы производил раскопки курганов в Московской губернии и написал докторскую диссертацию «О московском курганном племени»; в 1867 году назначен ординарным профессором и получил звание почетного доктора; в 1868 опять осматривал зоологические музеи и сады Голландии, Бельгии, Англии, Франции и Италии и работал в Гессене и Неаполе; в заграничной поездке в 1873 году работал в Виллафранке и Неаполе и осматривал зоологические учреждения в Лондоне, Гамбурге, Копенгагене, Стокгольме и Упсале; в поездке 1878 года — в Германии и Франции.
В 1883 году А. П. Богданов получил звание заслуженного профессора; в 1887 ознакомился с музеями и лабораториями многих городов Германии, Австрии, Швейцарии, Бельгии, Голландии и Франции. В 1889 году командирован Обществом любителей естествознания и акклиматизации на Парижскую выставку и для присутствия на международном конгрессе доисторической антропологии и археологии и на зоологическом.
По инициативе Богданова были организованы:
А. П. Богданов состоял членом более 30 учёных обществ русских и иностранных, был награждён несколькими медалями за труды по устройству выставок, организации комитета акклиматизации и зоологического сада и пр.
С 1863 года заведует зоологическим музеем, с 1872 состоит директором отдела прикладной зоологии в Московском музее прикладных знаний и директором Комитета шелководства. По зоологии Богданов напечатал около 30 частью специальных, частью популярных работ, по антропологии более 40, не считая мелких статей и докладов. Из работ, имеющих целью популяризацию, особенно следует отметить «Зоологию» и «Зоологическую хрестоматию» 1865—1867, а также «Медицинскую зоологию», первый том которой появился в 1883 году. В 1888 году Богданов начал издавать в «Известиях Императорского общества любителей естествознания» — «Материалы для истории научной и прикладной деятельности в России по зоологии и соприкасающимся с нею отраслям знания, преимущественно за последнее тридцатипятилетие» (1850—1887). Продолжение этого издания вышло в 1889 году, третий том в 1891 году. Кроме того, под редакцией Богданова были переведены на русский язык некоторые важные учебники и учебные пособия, как например, «Protozoa» и «Coelenterata» Бронна, «Сравнительно-анатомические таблицы» Каруса и др.
В своих антропологических работах А. П. Богданов указывал о принципиальное различие единиц расовой систематики и лингвистической и этнической категорий. Выступал с критикой теорий расизма и полигенизма.
Умер А. П. Богданов в 1896 году в Москве.
А. П. Богданову принадлежат крупные работы по зоологии и её истории:
А. П. Богданов — автор работ по антропологии, посвященных, главным образом, краниологии древнего населения России: