Анатолий Николаевич Квочур родился 16 апреля 1952 года в селе Мазуровка Черневецкого района Винницкой области Украинcкой ССР в семье сельского агронома и начальника узла связи.
После окончания школы в 1969 году Анатолий Квочур поступил в Ейское высшее авиационное училище лётчиков. После окончания училища в 1973 году начал службу пилотом в авиационных частях ВВС Группы Советских войск в Германии. За два года он стал командиром звена истребителей-бомбардировщиков. В 1975 году командование написало рекомендательное письма для поступления в Школу лётчиков-испытателей, которую он окончил в 1978 году. В 1977 году Анатолий Квочур уволен из рядов Вооруженных Сил СССР. В 1981 году Анатолий Квочур окончил Московский авиационный институт. С 1978 года по 1981 Анатолий Квочур работал лётчиком-испытателем на авиационном заводе в Комсомольске-на-Амуре, где проводил испытания серийных Су-17 и его модификаций.
В 1981 году Анатолий Квочур был переведён в ОКБ имени А. И. Микояна. В ОКБ он участвовал в испытаниях самолётов МиГ-29 и МиГ-31, испытаниях ракет классов «воздух-воздух», «воздух-поверхность», испытаниях палубного истребителя МиГ-29К, в том числе с испытаниями систем авианосца «Адмирал Кузнецов», а также в испытаниях новейших образцов самолётов МиГ.
В 1988 году на авиационном салоне в Фарнборо Анатолий Квочур впервые показал фигуру высшего пилотажа — «Колокол».
8 июня 1989 года на международном авиасалоне в Ле Бурже (Франция) во время демонстрации высшего пилотажа разбился новейший советский истребитель МиГ-29. Лётчик-испытатель Анатолий Квочур успел катапультироваться.
В 1991 году Анатолий Квочур перешёл на работу в Лётно-исследовательский институт в качестве лётчика-испытателя и начальника лаборатории эргономики. В 1996 году он стал заместителем начальника института по оборонной тематике. В 1992 году для выполнения исследовательских программ по проектированию кабин и органов управления маневренных самолётов, спутниковой радионавигации, дозаправки в воздухе, сверхдальним беспосадочным перелётам, сверхманёвренности и медицине он создал пилотажную группу «Лётчики-испытатели», которая в 1996 году была преобразована в Пилотажно-исследовательский центр. В марте 1995 года Анатолий Квочур выполнил сверхдальний перелёт на одноместном истребителе Су-27 в Австралию, а в июле и сентябре 1999 года — перелёты через Северный полюс по замкнутому маршруту.
В 2006 году Анатолий Квочур по приглашению губернатора Красноярского края Александра Хлопонина выступил с показательными полётами (утренним и дневным) над Красноярском - в рамках аэрокосмического салона САКС-2006. Полёты проходили на низкой высоте над руслом Енисея (ширина 1,5 км) и полностью соответствовали нормам авиационной безопасности. Однако мощный рёв Су-30 поднял весь краевой центр, а на Коммунальном мосту и городских набережных полностью остановилось движение - все водители вышли и наблюдали за полётом аса.
После полёта, на пресс-конференции, Анатолий Квочур, говоря о своих показательных выступлениях за рубежом, вспоминал, что при перелёте в Австралию в 1995 году, при ночной дозаправке в Индии, ему пришлось долго лично ходить пешком по аэропорту, чтобы найти организаторов заправки авиатопливом, так как индийцы не были предупреждены российской стороной.
В 1999 году Анатолий Квочур окончил Академию государственной службы при Президенте Российской Федерации.
В настоящее время проживает в городе Жуковском.
Автор книги «Испытание себя».