Родился в крестьянской семье. Отец — участник Великой отечественной войны, шофёр, был репрессирован, три года провёл в лагерях, позднее реабилитирован, стал членом КПСС, руководил селом.
Анатолий Морозов посещал одну школу с будущим губернатором Саратовской области Дмитрием Аяцковым. Женат, отец двух сыновей.
В 1969 году окончил Саратовский монтажный техникум.
В 1977 году закончил Тольяттинский политехнический институт, получив специальность «инженер-строитель».
Доктор технических наук.
Трудовую деятельность начал в 1968 году слесарем-монтажником в Ленинградской области. С 1969 по 1972 год работал слесарем-монтажником Куйбышевского монтажного управления треста «Нефтехиммонтаж» Минмонтажспецстроя.
В 1973—1979 — слесарь-монтажник 5-го разряда, инженер производственно-технического отдела 1-го Тольяттинского СМУ.
В 1979—1987 работал в райкоме КПСС Центрального района Тольятти инструктором, заведующим промышленно-транспортным отделом. В 1987—1992 — заместителем генерального директора по капитальному строительству объединения «Волгоцеммаш».
С 1992 и до избрания депутатом в 1995 году работал первым заместителем главы администрации города Тольятти, курировал вопросы строительства, архитектуры, землеустройства и экологии.
На выборах в Государственную думу в 1995 году был выдвинут по Тольяттинскому одномандатному избирательному округу № 155 избирательным объединением "Всероссийское общественно-политическое движение «Наш дом — Россия». На выборах победил, набрав 23,22 % голосов.
Во время работы думы был членом фракции «Наш Дом — Россия», заместителем председателя Комитета по природным ресурсам и природопользованию, председателем подкомитета по национальным паркам и заповедникам, членом Мандатной комиссии Государственной думы.