Родился 1 (14) сентября 1916 года в городе Рогачёв ныне Гомельской области (Белоруссия) в семье железнодорожного служащего.
В 1930 году окончил 7 классов школы. Работал пломбировщиком вагонов на станции Жлобин (Гомельская область). В 1933 году окончил Оршанскую железнодорожную школу ФЗУ. Работал слесарем по ремонту паровозов, кочегаром, помощником паровозного машиниста, а с 1935 года — машинистом в паровозном депо станции Орша (Витебская область, Белоруссия). За отличную работу был награждён медалью «За трудовое отличие». Занимался парашютным спортом в Оршанском аэроклубе.
В июне-августе 1941 года, работая машинистом в прифронтовом районе, участвовал в перевозках войск и эвакуируемого имущества, был машинистом бронепоезда. В сентябре 1941 года в Москве добровольно вступил в партизанский отряд, формируемый начальником паровозного депо станции Орша К. С. Заслоновым. 1 октября 1941 года отряд перешёл линию фронта в Смоленской области и развернул партизанские действия в тылу врага.
А. Е. Андреев был в отряде заместителем начальника разведки — заместителем комиссара отряда, а затем комиссаром отряда. В ноябре 1941-феврале 1942 года в составе диверсионной группы К. С. Заслонова принимал активное участие в подпольно-диверсионной деятельности на Оршанском железнодорожном узле, а затем в боях на территории Витебской и Минской областей. Стал к тому времени комиссаром объединённых партизанских отрядов Бегомльского района. За время работы в тылу врага участвовал в организации крушений 6 поездов, выведения из строя 170 паровозов, водоснабжения Оршанского железнодорожного узла и поворотного круга в депо. В сентябре 1942 года в составе объединённых отрядов вышел через линию фронта в расположение советских войск.
В декабре 1942-марте 1943 года, находясь в распоряжении Белорусского штаба партизанского движения, занимался формированием, обучением и подготовкой парашютно-десантного партизанского отряда имени Комсомола Белоруссии для действий в глубоком тылу противника. 4 мая 1943 года вместе с отрядом десантирован в тыл врага. До августа 1944 года в качестве комиссара и командира этого отряда воевал на территории Белостокской области (ныне — территория Гродненской области, Белоруссия).
После полного освобождения территории Белоруссии в конце 1944 года был направлен в состав Комиссии уполномоченного Правительства Белорусской ССР по переселению белорусского населения с территории Польши, где проработал до окончания войны. В мае 1945 года вернулся к своей профессии и стал машинистом-инструктором паровозного депо станции Минск.
В 1946—1948 — секретарь бюро парторганизации паровозного депо станции Минск. Привлекался к работе в оперативной группе Совнаркома республики по организации вывоза промышленного оборудования из Германии в Белоруссию. В 1950 году окончил Республиканскую партийную школу, в 1959 году — Высшую партийную школу при ЦК КПСС (заочно).
В 1950—1960 — заведующий отделом транспорта, дорожного хозяйства и связи Управления делами Совета Министров Белорусской ССР. В 1960—1961 — первый заместитель, а в 1961—1963 — начальник Главного управления автомобильного транспорта при Совете Министров Белорусской ССР. В 1963 году Главное управление было преобразовано в Министерство автомобильного транспорта Белорусской ССР, и А. Е. Андреев был назначен министром. В этой должности он проработал вплоть до выхода на пенсию в 1984 году.
В начале 1970-х годов под его руководством Министерство автомобильного транспорта республики впервые перешло на полный хозрасчёт и самофинансирование, что позволило не только гарантировать своевременную выплату нормативных отчислений в бюджет, но и значительно повысить качество работ и услуг, снизить их себестоимость, улучшить условия труда и быта транспортников. Результаты этого эксперимента изучались и широко использовались в других отраслях народного хозяйства республики, а также в ряде союзных республик.
За заслуги в развитии автомобильного транспорта Белорусской ССР, активную общественную деятельность и большой личный вклад в организацию партизанского движения в годы Великой Отечественной войны Андрееву Анатолию Евгеньевичу Указом Президиума Верховного Совета СССР от 26 августа 1976 года присвоено звание Героя Социалистического Труда с вручением ордена Ленина и золотой медали «Серп и Молот».
После выхода на пенсию активно включился в работу Всесоюзного совета ветеранов войны и труда. В 1987—1994 — председатель Белорусского республиканского совета ветеранов войны и труда, с 1994 года — почётный председатель Совета. В 1968—1988 — заместитель председателя центрального правления Общества советско-вьетнамской дружбы и председатель Белорусского отделения этого общества. С марта 1987 года по апрель 1992 года являлся председателем Комиссии по делам бывших партизан и подпольщиков при Президиуме Верховного Совета Белорусской ССР.
Жил в Минске. Умер 26 марта 2005 года. Похоронен на Восточном (Московском) кладбище в Минске.
Член ЦК Компартии Белоруссии, заместитель председателя Ревизионной комиссии Компартии Белоруссии. Народный депутат СССР в 1989—1991 годах, депутат Верховного Совета Белорусской ССР.
В Минске на доме (улица Якуба Коласа, дом 7), в котором жил А. Е. Андреев, 17 ноября 2006 года установлена мемориальная доска.
Андреев А.Е. Былое. Воспоминания бывшего командира партизанского отряда. — Минск, 2004. — 248 с. — ISBN 985-6544-52-1