Анатолий Булгаков — воспитанник московских клубов Петровский замок и «Локомотива».
В 1999 перебрался в Финляндию, где стал защитником клуба «ТП-47» из Торнио.
В 2003 вместе с командой получил право выступать в Вейскауслиге. В высшем дивизионе клуб из Торнио провёл два сезона, в которых отметился одним забитым мячом во время сезона 2004 года. В одном из матчей ему удалось выключить из игры знаменитого Яри Литманена.
После семилетнего пребывания в «ТП-47», в 2006 году отдан в аренду клубу «Оулу». 11 июля 2007 года арендные отношения были расторгнуты, главной причиной была неудовлетворительная форма российского игрока.
Вернулся обратно в «ТП-47», который в 2009 году вылетел в третий дивизион чемпионата Финляндии.