Кандидат юридических наук, доктор исторических наук, профессор. Член-корреспондент АН СССР (1981).
Чрезвычайный и полномочный посланник I класса.
Член Союза художников России.
Окончил с отличием Московский государственный институт международных отношений (1954).
1-й секретарь посольства СССР в Соединенном Королевстве Великобритании и Северной Ирландии (1961—1965). Заведующий сектором Института Африки АН СССР (1966—1969), заведующий секцией АН СССР (1969—1976), директор Института Африки АН СССР (1976—1991).
Работал на Кипре (с 1992). Президент Центра оценок политики Института Африки РАН.
Отец — министр иностранных дел СССР Андрей Андреевич Громыко. Мать — Лидия Дмитриевна (в девичестве Гриневич, 1911—2004).
Жена — Валентина Олеговна.
Дети: Игорь Анатольевич — советник-посланник посольства РФ в Армении (с 2003); Алексей Анатольевич Громыко — руководитель Центра британских исследований РАН; Анна Анатольевна.