В 1957 году окончил механический факультет Уральский политехнический институт им. С. М. Кирова по специальности «технология машиностроения», инженер-механик.
Кандидат технических наук (1969).
Родился 2 августа 1925 г. в д. Порошино Кунгурского округа Уральской области. После окончания семилетней школы (в 1940 году) поступил в Кунгурский машиностроительный техникум. В декабре 1942 года мобилизован в Красную Армию, сначала учился в Молотовском военно-морском авиационно-техническом училище, затем служил авиамехаником на Тихоокеанском флоте. Принимал участие в боевых действиях против Японии и в Корее. В октябре 1952 года был демобилизован и вернулся в Кунгур и продолжил учёбу в техникуме. В 1952—1957 гг. учился в УПИ им. С. М. Кирова. Во время учёбы был комсоргом факультета и секретарём комитета ВЛКСМ института.
После окончания института сразу же получил должность заместителя начальника цеха Машиностроительного завода им. М. И. Калинина в Свердловске. С 1959 г. — заместитель главного инженера, с января 1968 г. — главный инженер завода. В январе 1970 — июне 1977 был директором (с декабря 1975 — генеральным директором) завода. В марте 1976 присвоено звание Героя Социалистического Труда. В июне 1977 г. по инициативе 1-го секретаря обкома Б. Н. Ельцина Мехренцев был назначен председателем облисполкома.
Скоропостижно скончался 7 января 1985 г. в Свердловске. Похоронен на Широкореченском кладбище.
В 2001 году постановлением Правительства Свердловской области учрежден «Почетный диплом правительства Свердловской области имени Анатолия Александровича Мехренцева». С 2003 года ежегодно почетный диплом присуждается постановлением Правительства Свердловской области директорам предприятий за эффективное руководство и реализацию социальных программ.
В мае 2010 года принято решение о присвоении имени Анатолия Мехренцева одной из улиц района «Академический» Екатеринбурга.