Младшая из четырёх детей, родители — выходцы из Испании, отец — армейский офицер, семья принадлежала к среднему классу. Начала учиться балетному искусству с 9 лет, её преподавателем была бывшая артистка Большого театра, участница труппы Сергея Дягилева София Фёдорова. Дебютировала ребенком в балете «Спящая красавица».
В пятнадцатилетнем возрасте вышла замуж за кубинского танцовщика и преподавателя балетного искусства Фернандо Алонсо (исп. ). Училась в Нью-Йорке и Лондоне. В девятнадцатилетнем возрасте частично потеряла зрение, которое в дальнейшем только ухудшалось (к настоящему времени актриса фактически ослепла). В 1939—1940 активно участвовала в создании Американского балетного театра. С 1943 стала его ведущей артисткой.
2 ноября 1943 заместила Алисию Маркову в роли Жизели, с триумфа в этой роли началась её мировая слава. Работала с Михаилом Фокиным, Джорджем Баланчиным, Леонидом Мясиным, Брониславой Нижинской и другими прославленными постановщиками. Постоянно выступала вместе с Игорем Юшкевичем.
В 1948 году создает на Кубе собственную балетную компанию «Балет Алисии Алонсо» (исп. Ballet Alicia Alonso), в дальнейшем ставшую основой для создания Национального балета Кубы (исп. )..
В 1955—1959, покинув Кубу диктаторского режима Батисты, танцевала в Русском балете Монте-Карло. В 1957—1958 выступала на сцене Большого и Кировского театров. Танцевала в различных ролях классического балетного репертуара в театрах Европы, Азии и Америки.
В 1959, после победы Кубинской революции, вернулась на родину.
Несмотря на зрение, была одной из самых техничных балерин мира, сценическое долголетие которой стало примером для последующих поколений балерин.
Одноактный балет «Кармен-сюита» на музыку Жоржа Бизе (1875) в оркестровке Родиона Щедрина (1967) был поставлен 1 августа 1967 года в Национальном балете Кубы (исп. , Гавана) балетмейстером Альберто Алонсо для Алисии Алонсо в роли Кармен (экранизирован в 1968, 1972 и 1973 годах)
В 1948 основала Национальный балет Кубы, который возглавляет до нынешнего дня.
Большое влияние на творчество Алисии Алонсо оказали представители «старой российской школы», балерина начинала с занятий в частной школе Николая Яворского, впоследствии её учителями были Анатолий Обухов, Анатолий Вильтзак, Людмила Шоллар и Пьер Владимиров. Алонсо танцевала в балетах Михаила Фокина, Леонида Мясина и Джорджа Баланчина. Первое выступление Алисии в СССР состоялось 31 декабря 1957 года в Риге, а дебют на сцене Кировского театра — 7 января 1958 года. В Большом театре выступила в партии Жизели с партнёром Владленом Семёновым.
2 августа 2011 года на новой сцене Большого театра состоялся гала-концерт «Viva Alicia!»в честь балерины Алисии Алонсо. Партию Кармен исполняла Светлана Захарова.
Программа концерта состояла из номеров классической и современной хореографии, которые исполнили солисты кубинского балета Садайсе Аренсибия, Анетте Дельгадо, Янела Пиньера, Вьенсай Вальдес исп. , Дани Эрнандес, Алехандро Вирельес, Осьель Гуно, Ариан Молина, — были показаны «Большой pas de quatre» Чезаре Пуни (Жюль Перро, Алисия Алонсо), «Гром и молния» на музыку Иоганна Штрауса-сына (хор. Эдуардо Бланко); «Умирающий лебедь» Сен-Санса (современная постановка, модерн — Мишель Дискомби); pas de quatre из балета «Коппелия» Делиба (пост. А.Алонсо); pas de deux из «Лебединого озера», «Волшебная флейта» Дриго, «Дон Кихот», «Кармен-сюита» и «Фиеста Криоллы» — всё в редакции Алисии Алонсо.
По словам В. В. Васильева, «имя Алисии Алонсо уже вписано золотыми буквами в историю мирового балета… На Кубе Алонсо стала синонимом понятия „классический танец“, как Галина Уланова в России».
Премия Анны Павловой (1966). Почетный доктор искусств Гаванского университета (1973). Крупнейший национальный орден Феликса Варелы (1981). Испанский Орден Изабеллы Католички (1993). Командор Ордена Искусств и литературы Франции (1998). Премия «Benois de la dance» (2000). Орден Хосе Марти (2000) и несколько сотен других наград. Посол доброй воли ЮНЕСКО (2002).