Алессандро Морески родился 11 ноября 1858 года в городе Монте-Компатри в католической семье. Он родился с врождённой паховой грыжей, что серьёзно угрожало его жизни. Чтобы спасти его жизнь, Алессандро пришлось кастрировать. В середине XIX века операции по удалению грыж не проводились, и кастрация была единственным способом избавиться от недуга. В 1870 году кастрация мальчиков с целью воспитать из них вокалистов была официально запрещена, а многих учителей, обучавших кастратов, не было в живых. Несмотря на это, в 1871 году Морески поступил учиться в Scuola Di San Salvatore в городе Лауро.
В 1883 году Алессандро Морески поступил в Сикстинскую Капеллу, в которой прослужил 30 лет. В 1902 году его голос был записан на фонограф, благодаря чему в истории сохранился один из примеров голоса кастрата-певца. Когда папа Пий X запретил исполнять любую музыку кроме религиозной в церквях, множество певцов были уволены из хора, но для Морески сделали исключение. Он стал солистом и дирижёром хора Сикстинской Капеллы.
Когда были сделаны записи пения, Алессандро Морески было 44 года, и некоторые критики отмечали «старение» его голоса. Другие говорили, что он пел в «плачущей интонации». Третьи считали, что он никогда не был особо интересным певцом.