Родился 31 декабря 1972 года в г. Невьянске Свердловской области. Отец — водитель, мать работала на Невьянском механическом заводе специалистом по настройке программного обеспечения станков с ЧПУ. В 1988 году окончил 8 классов средней общеобразовательной школы посёлка Цементный Невьянского района.
В 1992 году окончил Невьянский механический техникум по специальности «наладчик станков с ЧПУ». В 1995 году поступил в институт переподготовки кадров Уральского государственного технического университета по специальности «менеджмент», который окончил в 1999 году с присвоением квалификации «инженер-экономист». По его собственным словам, будучи студентом университета, по ночам он работал сторожем на Невьянской мебельной фабрике. Затем занялся перепродажей мебели, позднее Багаряков вспоминал, что при зарплате сторожем 200 руб. на перепродаже мебели он получал 1000 руб. в месяц. Через полтора года он организовал вместе с партнёром компанию ООО «АЛБА» и продавал, по его словам, около половины производимой на фабрике мебели. В 19 лет он купил себе новый автомобиль ВАЗ-2109. После этого занимался скупкой и перепродажей ваучеров.
В 1997—2002 годах — учредитель и директор корпорации «АЛБА», в 1999 году приобрёл пакет акций и вошёл в состав совета директоров ОАО «Ирбитский стекольный завод». Позднее Багаряков называл покупку заводов «ошибкой». В 2001 году работал в аппарате комитета по труду и социальной политике Госдумы.
В 2001 году вошёл в число участников ООО «Уральский инновационный коммерческий банк» (УИК-банк), в 2003 году избран председателем наблюдательного совета, затем председателем совета директоров (c 2004 года был основным, а в 2006—2007 годах — единственным собственником банка). В 2007 году продал все акции банка 6 физическим лицам и вышел из состава руководства. В 2010 году решением Арбитражного суда Свердловской области продажа 25 % акций банка родным сестрам Девониной Г. В. и Зыковой Н. В. была признана ничтожной. 31 октября 2011 года у УИК-банка была отозвана лицензия на проведение банковских операций, была назначена временная администрация.
В 2003 году стал членом совета директоров ОАО «Омск-кровля» г. Омска. Являлся основным участником в капитале компаний ООО «Фирма Алба», ООО «Инвестиционная компания „Стабильность-Гарант“», ООО «ИнвестДевелопмент», ООО «Финансовая компания „Стабильность-Гарант“», ООО «Авантайм», ООО Инвестиционная компания «Финансовые решения», ЗАО «УиК-Инвест», ООО «Фрунзе 96», ООО «Классик», ООО «Финансовые решения», получал доходы от ООО «ДиалогТелеком», ООО «ЕвразМеталл-Урал», ООО «Протех».
В 2003 году баллотировался в Госдуму от партии Союз правых сил, идя вторым номером в списке СПС по Свердловской области. Был членом политсовета свердловского отделения СПС. В 2006 году Багаряков говорил, что у него «сохранились прекрасные отношения с Борисом Немцовым, с Ириной Хакамадой».
С 2004 года является вице-президентом организации «Уральский региональный центр развития малых городов Урала и Сибири» (ООО «Уральский региональный центр развития малых городов»), занимающейся разработкой концепции развития малых городов России.
В 2004-2005 годах являлся членом совета директоров уральского банка «Банк24.ру».
В 2006 году защитил кандидатскую диссертацию в Российской академии государственной службы при Президенте РФ, получив учёную степень кандидата экономических наук.
В интервью журналу «Деловой квартал» в 2006 году Багаряков заявил, что при возможности попытается пройти в Госдуму с коммунистами, отметив: «я спокойно пойду с ними — даже задумываться не буду».
В 2007 году участвовал в выборах депутатов Государственной думы пятого созыва. Багаряков шёл вторым номером по избирательному списку КПРФ в Алтайском крае после первого секретаря краевого комитета партии Михаила Заполева. В Алтайском крае КПРФ получила 16,88 % голосов, что давало ей право на один депутатский мандат. Однако ЦК КПРФ рекомендовал Заполеву снять с себя депутатские полномочия, сосредоточившись на политической деятельности в регионе. Заполев подчинился решению партии, перейдя на работу в Алтайское краевое законодательное собрание. Он объяснил свой отказ от места в Госдуме «интересами общего дела», отметив важность финансовой поддержки партийной деятельности. Согласно сведениям, представленным в Центризбирком, Багаряков имел годовой доход более 48 млн рублей. 26 марта 2008 года Багаряков получил мандат решением Центризбиркома.
Сам Багаряков в интервью подчёркивал, что не является членом компартии, однако его «выбор в пользу КПРФ закономерен», так как ему не нравится «Единая Россия». Багаряков отметил: «хотя „левые“ взгляды у меня присутствуют, но по натуре я — либерал». По словам Багарякова, у него ровные отношения с Заполевым и алтайскими коммунистами. О своей деловой деятельности Багаряков сказал: «я так построил свой бизнес, что на него нельзя оказать давление. Фондовый рынок — попробуй надави. У меня нет ни заводов, ни пароходов, счетов за границей не имею», пояснив, что «никакого противоречия между моими взглядами и партийной идеологией нет. В программе партии сказано: должна быть социальная справедливость. А того, что грех быть богатым, такого нет».
В апреле 2008 года Багаряков заявил, что в его планах открытие партийных организаций в каждом районе Барнаула. По информации алтайских СМИ, в конце 2008 года Багаряков приобрёл для КПРФ партийный офис в Барнауле общей площадью 340 кв. м. и стоимостью более 10 млн рублей. По собственным словам Багарякова, свою депутатскую зарплату (около 130 тыс. руб.) он перечисляет в краевую организацию КПРФ.
В Госдуме вошёл в состав комитета по финансовому рынку. Предлагал не выплачивать бонусы топ-менеджерам компаний, получающих помощь от государства, усилить контроль за допуском иностранных ценных бумаг на российский рынок, высказывал замечания к законопроекту о противодействии неправомерному использованию инсайдерской информации, вместе с фракцией требовал отставки Анатолия Чубайса с поста главы Российской корпорации нанотехнологий.
В 2010 году выступил разработчиком законопроекта о прогрессивном налогообложении. Законопроект предусматривал перераспредление налоговой нагрузки на граждан с более высокими доходами; в частности, для тех, кто получает свыше 12 млн руб. в год предлагалось увеличить ставку налога до 45 %. В апреле 2010 года выступил с критикой законопроекта, наделяющего госкорпорацию Роснано правом выпуска эмиссионных ценных бумаг. Багаряков заявил, что из 130 млрд рублей, выделенных Роснано, освоено всего 10 млрд рублей, при этом половина из этого потрачено на содержание самой Роснано.
В последующем, после ухода из Государственной думы, Багаряков вспоминал, что работа фракции КПРФ в Думе его не устраивала:
Основной причиной ухода из Госдумы стало недовольство списком кандидатов от фракции КПРФ в VI Государственную думу. По его словам, средний возраст кандидатов в списке был 64,5 года, что приводит к тому, что будущие депутаты мыслят "мыслят стереотипами плановой экономики и затрудняются объяснить, что такое «инновации»". В июне 2011 года Багаряков сложил свои полномочия как депутата и ушел работать в правительство Свердловской области на должность заместителя главы правительства области.
В свою очередь, председатель КПРФ Геннадий Зюганов прокомментировал уход Багарякова: «У него есть знания бизнеса, производства. А теперь он пройдет хорошую школу в серьёзной сильной области, будет развиваться.». По словам Зюганова, Багаряков является «симпатизантом партии» и если он будет придерживаться тех душевно-нравственных критериев, которые коммунисты пытались вложить в его душу, то у него будет перспектива. Также Багарякова продолжал считать сторонником партии первый секретарь Свердловского обкома КПРФ Дмитрий Шадрин, который заявлял, что «власти ... вынуждены привлекать на ответственные должности сторонников Коммунистической партии».
Осенью 2009 года, по словам Багарякова, к нему обратился Геннадий Зюганов с просьбой поучаствовать в региональных выборах в Свердловской области. Багаряков согласился. По его словам, именно он будет заниматься формированием кампании, составлять список кандидатов, проводить кампанию и нести ответственность за результат. Также в своем интервью от 5 ноября 2009 года он уже заявил о том, что возглавит список, хотя областная конференция КПРФ, которая приняла решение, состоялась лишь 26 декабря 2009 года.
Согласно сведениям о размере и источниках доходов за 2008 год, предоставленным в областную избирательную комиссию, Багаряков имел в собственности 4 квартиры в Екатеринбурге (размером от 34 до 47,6 кв. м.), 100 % долей зарегистрированного в поселке Цементный Невьянского района Свердловской области ООО «ИнвестДевелопмент» и 50 % долей московской компании ООО «Стройсервис».
Результат КПРФ на выборах в Областную думу оказался лучшим с 1996 года. Партия набрала 21,69 %, заняла второе место и получила три депутатских мандата. Багаряков отказался от мандата депутата, который перешел к члену КПРФ Евгению Артюху, показавшему лучший результат среди 14 региональных групп.
Как заявил после выборов Багаряков, «впервые в Свердловской области мы работали с приличным бюджетом». Геннадий Зюганов высоко оценил усилия Багарякова: «Блестяще организовал избирательную кампанию в Свердловской области молодой депутат Государственной Думы Алексей Багаряков. Там мы, по сути дела, удвоили свой результат».
В июле 2011 года после сдачи мандата депутата Государственной думы Багаряков приступил к обязанностям заместителя председателя правительства Свердловской области (дата указа губернатора о назначении Багарякова в СМИ не сообщалась). Основной функцией Багарякова являлось взаимодействие с муниципалитетами Свердловской области (до него данные функции исполнял Вячеслав Брозовский, ушедший в отставку весной 2011 года). По сообщениям некоторых СМИ, в это же время Багаряков вступил в Общероссийский народный фронт. По рекомендации общественной организации «Чистый город» (Нижний Тагил), входящей в ОНФ, был выдвинут в свердловский областной список «Единой России» для участия в праймериз на выборах в Государственную думу нового созыва, и в итоге был утвержден под номером 8 в региональном списке от Свердловской области.
Активно включился в предвыборную агитацию по выборам депутатов Государственной думы, размещал билборды с рекламой Путина, Мишарина и «Народного фронта», проводил заседания избирательных штабов свердловского отделения «Единой России».
Результат «Единой России» в Свердловской области был одним из самых низких по стране (32,7%), что позволило получить только 4 депутатских места по региональному списку. Багаряков в их число не вошел.
Активно занимался предвыборной кампанией кандидата в Президенты РФ Владимира Путина, в частности, был одним из основных координаторов большого митинга «Трудяга Урал за Путина!» 28 января 2012 года на Привокзальной площади города Екатеринбурга, курировал выпуск газет в поддержку Путина.
В декабре 2009 года был награждён юбилейной медалью КПРФ «130-лет со дня рождения Иосифа Виссарионовича Сталина». Багаряков заявил, что «в тот исторический период Сталин без сомнения был самым эффективным среди руководителей государств». В 2010 году Багаряков направил депутатский запрос губернатору Алтайского края Александру Карлину, заявив, что считает «оправданным и обоснованным использование образа Сталина в праздничном оформлении городов Алтайского края в дни 65-летия победы советского народа над фашистской Германией».
В апреле 2010 года прокомментировал публикацию газеты TheMarker о списке самых богатых евреев, заявив, что «евреи составляют около 2 процентов от общей численности населения России, но при этом они занимают ключевые посты в государстве, бизнесе и творческой сфере».
Отец водитель, мать рабочий на заводе. Младший брат Дмитрий проживает в Екатеринбурге. Женат, жена Ирина Николаевна Багарякова — учитель математики и физики. Четверо детей: три сына и дочь. Семья Багарякова проживает в Москве.