Образование получил в Константиновском межевом институте. По окончании курса слушал лекции в Московском университете и в Сорбонне. В 1860 г. назначен преподавателем математики в высшем (инженерном) классе института; в 1868 г. магистр, а в 1874 г. — доктор чистой математики в Московском университете. С 1868 г. профессор Московского технического училища; в 1879-80 гг. там же инспектором; с 1883 г. был директором Московского Александровского коммерческого училища, а с 1884 г. — члена-корреспондентом Императорской Санкт-Петербургской Академии Наук.
Работы Алексея Васильевича касаются преимущественно аналитической геометрии, дифференцирования, тригонометрических и сферических функций. Таковы:
После смерти Летникова, П. М. Покровский воспроизвёл статью «О приведении многократных интегралов» («Мат. сб.», 1889 и отд. М., 1889). Также, Покровский написал ещё: «Александровское коммерческое училище» (М., 1887) по черновым рукописям Летникова.