Впервые Алексей Юрьевич упоминается в разрядах в 1597 году как стольник, который присутствовал в Большой грановитой палате при приёме царского посла. В 1598 году Алексей подписался под грамотой об избрании в цари Бориса Фёдоровича Годунова.
В 1600 году Алексей упоминается как воевода в Шацке.
В 1606 году Алексейстоял у стола во время свадьбы Лжедмитрия I и Марины Мнишек.
В 1608 году Алексей оказался одним из первых перебежчиков в лагерь в Тушино Лжедмитрия II («Тушинского вора»), став одним из его советников. Из-за этого в 1610 году в окружной грамоте, составленной князем Фёдором Ивановичем Мстиславским для отправки Сибирские города о соблюдении присяги королевичу Владиславу, князь Алексей Юрьевич Сицкий был назван «воровским советником».
В 1613 году Алексей, как и другие князья Сицкие, поддержал избрание царём Михаила Фёдоровича Романова, подписавшись в грамоте об избрании.
15 марта 1615 года Алексей был пожалован в бояре. В этот день о присутствовал у государева стола и был пожалован за Торопецкую службу шубой и кубком. После него шубой и ковшем был пожалован князь Фёдор Андреевич Елецкий, однако он был недоволен и бил челом царю о том, что ему невместно идти после князя Сицкого, а также получать меньшую награду. Михаил Фёдорович отказал князю Елецкому, после чего тот был должен государево жалование получать после князя Сицкого.
В 1616 году Алексей Юрьевич сначала был воеводой в Торопце, затем был назначен наместником в Нижний Новгород. В том же году он участвовал в посольстве в Смоленск. Тогда же он имел денежный оклад в Устюжской четверти 400 рублей.
В 1617—1619 годах Алексей Юрьевич был начальником приказа Казанского дворца. В 1618 году Андрей был в Москве во время осады города королевичем Владиславом. В том же году он был в ответе с Кизильбашским послом.
В 1621 году Алексей Юрьевич был воеводой в Вязьме.
В 1624—1627 годах Алексей Юрьевич возглавлял Московский судный приказ.
В 1625 году он участвовал при отпуске Кизильбашского посла. В том же году Алексей Юрьевич с женой были в «сидячих» боярах и боярынях на первой свадьбе царя Михаила Фёдоровича с княжной Марии Владимировной Долгоруковой.
В 1626 году Алексей присутствовал на второй свадьбе царя — с Евдокией Лукьяновной Стрешневой. В том же году он упоминается как начальник Поместного приказа.
В 1628—1630 годах Алексей Юрьевич был воеводой в Казани.
В 1631 году Алексей Юрьевич участвовал в приёме шведского посла.
В 1632—1636 годах Алексей Юрьевич возглавлял Пушкарский приказ.
В 1637 году Алексей Юрьевич участвовал в приёме литовского гонца.
В период 1617—1637 годов Алексей Юрьевич часто сопровождал царя в походах на богомолье, а также обедал у него в торжественные дни. В 1635, 1637, 1638 и 1640 годах Андрей обедал у патриарха Иоасафа.
В 1638 году Алексей Юрьевич вновь глава Московского судного приказа. В этом году он наблюдал в Москве за подворной переписью людей «для осадного времени». В том же году он дневал и ночевал у гроба царевича Василия Михайловича.
В 1638—1641 годах во время службы князя Дмитрия Михайловича Пожарского в Переяславле Рязанском заменял его в Москве (от Москвы реки до Яузы) у городового земляного дела.
Состав владений Алексея Юрьевича зафиксирован в писцовой выписке 1620 года письма и дозора Юрия Редрикова и подьячего Михаила Неверова. В них состав входила старая вотчина отца и деда в Ярославском уезде — сёла Лацкое, Покровское и Воскресенское на реках Чернаве и Корбаке с деревнями. Кроме того за ним была вотчина дяди, князя Ивана Васильевича Сицкого, жребий села Покровское на реке Сить с деревнями. Всего в состав вотчины князя Андрея Юрьевича Сицкого входило 4 села, 33 деревни, 114 пустошей; в них два двора вотчинниковых, 11 людских, 54 крестьянских, 52 бобыльских, 8 пустых, земли всего 2086 четей в поле.
У Алексея Юрьевича был местнический счёт с Фёдором Леонтьевичем Бутурлиным (за жён).
Жена: княжна Евдокия Дмитриевна (ум. 4 декабря 1634). Дети: