Мать — Нина Михайловна, отец — Сергей Сергеевич (по образованию инженер), старшая сестра — Татьяна.
Дреев научился играть в шахматы от своего отца в возрасте шести лет. С восьми лет он тренировался у шахматного мастера Владимира Сайгина, с 11 лет у Марка Дворецкого. С 1985 года постоянным тренером Дреева является международный мастер Александр Филипенко.
В 1983 и 1984 годах Дреев два раза подряд выиграл чемпионаты мира среди юношей до 16-и лет. В 1984 году Дреев занял второе место в чемпионате мира среди юношей до 20-и лет.
В турнире молодых советских мастеров, который проводился в 1986 году в Таллине, Дреев занял второе место вслед за Василием Иванчуком. В 1988 году Дреев вместе с Борисом Гельфандом завоевал звание чемпиона Европы среди юношей.
В 20 лет Дрееву присваивают звание международный гроссмейстер.
В 1990 году, во Львове, Алексей Дреев выиграл (совместно с Алексеем Шировым, Леонидом Юдасиным и Смбатом Лпутяном) зональный турнир к чемпионату мира. В межзональном турнире в Маниле Дреев занял пятое место и получил возможность играть в матчах претендентов.
В первом матче претендентов он встретился с Вишванатаном Анандом и проиграл 1?:4? (+1-4=5).
Дреев участвовал в нокаут-чемпионатах мира ФИДЕ. В 1997 году в Гронингене Дреев дошёл до четвертьфинала, где проиграл Борису Гельфанду. В 1999 году в Лас-Вегасе Дреев дошёл до одной восьмой финала, где проиграл Майклу Адамсу. В 2000 году в Нью-Дели Дреев дошёл до одной восьмой финала, где проиграл Веселину Топалову. В 2001 году в Москве Дреев дошёл до одной восьмой финала, где проиграл Вишванатану Ананду. В 2004 году в Триполи Дреев дошёл до одной восьмой финала, где проиграл Домингесу, шахматисту из Кубы.
Дреев считается знатоком дебютов и обладает позиционным стилем игры. Дреев постоянно играет за команду России. В составе команды России он участвовал в шахматных Олимпиадах в Москве (1994), в Ереване (1996) и в Кальвии (2004).
Наиболее значимые победы Дреева в турнирах были: в Биле (Швейцария) в 1995 году, в Вейк-ан-Зее (Нидерланды) (1995) и в Дос Эрманас (Испания) (2002 и 2003).
В чемпионате России 2004 года, Дреев занял третье место: 5? из 10 (+3-2=5).