Родился 18 октября 1908 года в городе Житомире (ныне областной центр Житомирской области Украины) в семье рабочего. Украинец. Член ВКП(б)/КПСС с 1928 года. После окончания рабфака работал на предприятиях города Житомира.
В Красной Армии с 1931 года. В 1932 году окончил Саратовское бронетанковое училище, а в 1940 году — Военную академию механизации и моторизации РККА.
С началом Великой Отечественной войны А. С. Бурдейный на фронте. Был командиром танкового полка, начальником штаба танковой бригады, с апреля по 26 декабря 1942 года — начальником штаба 24-го танкового корпуса.
26 декабря 1942 года за боевые заслуги 24-й танковый корпус был преобразован во 2-й гвардейский танковый корпус, а полковник Бурдейный А. С. стал его командиром.
Приказом Верховного Главнокомандующего И. В. Сталина от 27 января 1943 года 2-й гвардейский танковый корпус удостоен почётного наименования «Тацинский».
Участвовал в боях за Киев, Харьков, Сталинград, на Курской дуге, в Смоленской наступательной операции, в Витебской операции.
31 августа 1943 года полковнику Бурдейному А. С. присвоено воинское звание «генерал-майор танковых войск».
Командир 2-го гвардейского Тацинского танкового корпуса (31-я армия, 3-й Белорусский фронт) гвардии генерал-майор танковых войск Бурдейный А. С. проявил свой полководческий талант в Белорусской операции, в ходе которой входившая в состав вверенного ему танкового корпуса 4-я гвардейская танковая бригада (командир — гвардии полковник Лосик О. А.) в 5 часов утра 3 июля 1944 года первой ворвалась в столицу Белоруссии — Минск по центральной магистрали, а менее чем через час в город вошли и остальные бригады, входившие в состав корпуса: 25-я гвардейская танковая бригада — со стороны Логойского шоссе, 26-я гвардейская танковая — через Слепянку. За 4-й гвардейской танковой бригадой последовала 4-я гвардейская мотострелковая. А затем, вслед за танкистами генерала Бурдейного, в Белорусскую столицу вошли передовые части 31-й и 11-й гвардейской армий.
В октябре 1944 года 2-й гвардейский Тацинский танковый корпус участвовал в Гумбиннен-Гольдапской наступательной операции.
2 ноября 1944 года генерал-майору танковых войск Бурдейному А. С. присвоено воинское звание «генерал-лейтенант танковых войск».
В январе 1945 года танкисты танкового корпуса генерала А. С. Бурдейного участвовали в Инстербургско-Кёнигсбергской наступательной операции войск 3-го Белорусского фронта.
В 1949 году А. С. Бурдейный окончил Военную академию Генерального штаба. Командовал объединением, был 1-м заместителем командующего войсками Белорусского военного округа, начальником Автотракторного управления Министерства обороны СССР.
3 июля 1961 года, в день 17-й годовщины освобождения города Минска, у подножия памятника Победы на площади Победы в Минске почётный гражданин города Минска А. С. Бурдейный зажёг вечный огонь.
С 1974 года генерал-полковник Бурдейный А. С. — в отставке. Избирался членом ЦК Коммунистической партии Белоруссии. Жил в Москве. Скончался 21 апреля 1987 года. Похоронен в Москве на Кунцевском кладбище.
За умелое командование танковым корпусом в Белорусской операции, образцовое выполнение заданий командования в боях с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом героизм и мужество Указом Президиума Верховного Совета СССР от 19 апреля 1945 года гвардии генерал-лейтенанту Бурдейному Алексею Семёновичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 5026).
Награждён двумя орденами Ленина, четырьмя орденами Красного Знамени, двумя орденами Суворова 2-й степени, орденами Кутузова 2-й степени, Отечественной войны 1-й степени, двумя орденами Красной Звезды, медалями, иностранными орденами.
Герой Советского Союза Бурдейный А. С. — почётный солдат воинской части и почётный гражданин города-героя Минска.