Алексей Петрович Бушмакин родился в деревне Сергеевка Чернушинского района Пермской области. После окончания школы окончил техникум судоходного механизированного транспорта (по другим данным — лесотехнический техникум). Работал по специальности.
В 1932 году Алексей Петрович был призван Красную Армию. По собственному желанию направлен в пограничные войска НКВД СССР, окончил военную школу пограничных войск, затем военное училище. А. П. Бушмакин командовал взводом в 82-й мотострелковой дивизии Забайкальского военного округа. Первое боевое крещение получил в боях на реке Халхин-Гол в 1939 году. В 1939—1941 годах дивизия дислоцировалась на территории Монгольской народной республики (г. Баян-Тумэн).
26 октября 1941 года 82-я мотострелковая дивизия переброшена на Западный фронт в состав 5-й армии, в дальнейшем преобразована в 3-ю гвардейскую мотострелковую дивизию, а 23 июня 1943 года обращена на формирование 6-го гвардейского механизированного корпуса.
Летом 1943 года в Курской битве возле города Волхов батальон А. П. Бушмакина одним из первых форсировал реку Орс и успешно действовал в глубине вражеской обороны, что оказало решающее влияние на выполнение боевой задачи всей бригады.
Весной 1944 года при освобождении Правобережной Украины батальон Алексея Петровича Бушмакина стремительно ворвался в глубину вражеской обороны, обойдя г. Каменец-Подольск с востока, чем содействовал его освобождению.
Во время Львовско-Сандомирской операции батальон А. П. Бушмакина показал высокую боевую доблесть, особенно при закреплении сандомирского плацдарма, где им было уничтожено до 20 танков противника.
В январе 1945 года во время Висло-Одерской операции батальон А. П. Бушмакина нанес врагу несколько сильных ударов, в частности под Кельце и Лодзью.
В Берлинской операции с 16 апреля 1945 года батальон А. П. Бушмакина в составе 16-й гвардейской механизированной бригады участвует в окружении Берлина, затем в овладении г. Бранденбург и разгроме 12-й немецкой армии Венка.
В Пражской операции с 6 по 9 мая 1945 года А. П. Бушмакин, командуя батальоном, участвует в освобождении столицы Чехословакии — Праги. Особенно он отличился в бою в районе города Мост, где им было уничтожено до 20 вражеских орудий.
В 1949 году окончил Ленинградскую высшую офицерскую бронетанковую школу. С 1953 года подполковник Алексей Петрович Бушмакин — в запасе.
Женат. Жена — Бушмакина Фаина Ивановна, участник Великой отечественной войны, медработник. Дети — 4 сыновей, старший — Алексей Алексеевич также офицер Советской Армии.
Работал в леспромхозе, затем на предприятиях города Перми, в последние годы жизни руководил Пермским ДОСААФ. Умер 1 мая 1964 года.