Родился в Москве, в старинной аристократической семье сановника Петра Бестужева, который позднее был губернатором Нижнего Новгорода и приближённым императрицы Анны Иоанновны. Вместе со своим братом Михаилом Алексей обучался за границей в Копенгагене и Берлине.
В 1712 году он был отправлен в числе других лиц русского посольства на конгресс в Утрехт. После того с разрешения императора Петра I Алексей Петрович поступил на службу к курфюрсту Ганноверскому Георгу, который пожаловал его камер-юнкером. Когда курфюрст Георг I взошёл на английский престол, он отправил Бестужева в качестве посланника к Петру. Через три года Бестужев был отозван в Россию.
В 1718 году поступил обер-камер-юнкером к вдовствовавшей герцогине курляндской, Анне Ивановне, но через два года был назначен резидентом в Данию.
В 1731 году его переместили резидентом же из Дании в Гамбург. Бестужев ездил в Киль, осмотрел архивы герцога Голштинского и вывез в Петербург много интересных бумаг, между которыми была духовная имп. Екатерины I.
В конце 1734 года Бестужев был перемещён снова в Данию. Благодаря расположению к нему Бирона Бестужев, едва приехав в Копенгаген, был аккредитован посланником при нижнесаксонском дворе и пожалован тайным, а в 1740 году, 25 марта, действительным тайным советником с повелением явиться в Петербург для присутствования в кабинете.
Бирону для противовеса графу Остерману нужен был ловкий человек, а таким и был Бестужев. В благодарность за это Бестужев содействовал в назначении Бирона регентом Российской империи на время малолетства Иоанна Антоновича.
8 ноября 1740 года пал Бирон. С падением его пострадал и Бестужев, который был заключён в Шлиссельбургскую крепость. Несмотря на старания запутать его, Бестужев совершенно оправдался, и его освободили, но только лишили должностей.
По вступлении на престол императрицы Елизаветы Петровны благодаря ходатайству своего друга, лейб-медика Лестока, граф Алексей Петрович был пожалован в короткий промежуток времени в 1741—1744 годах в вице-канцлеры, сенаторы и главные директора над почтами, орденом Святого апостола Андрея Первозванного и, наконец, великим канцлером.
Достигнув высокого звания канцлера и не имея соперников, Бестужев-Рюмин шестнадцать лет управлял Россией. Он был расположен к венскому двору, ненавидел Пруссию и Францию. Последствием его ненависти к Пруссии была разорительная война против Фридриха Великого, стоившая России более трёхсот тысяч человек и более тридцати миллионов рублей.
Наследник престола Пётр Фёдорович, почитатель Фридриха, ненавидел Бестужева; в свою очередь и Пётр Фёдорович был ненавидим канцлером, так что, когда родился Павел Петрович, то Бестужев вздумал лишить родителя престола и упрочить его за Павлом Петровичем под опекунством Екатерины. В 1757 году тяжкая болезнь постигла Елизавету. Бестужев, думая, что императрица уже не встанет, самовольно написал генерал-фельдмаршалу Апраксину возвратиться в Россию, что Апраксин и исполнил. Но Елизавета Петровна оправилась от болезни. Разгневанная на Бестужева за его своеволие, императрица 27 февраля 1758 года лишила канцлера чинов и знаков отличий. Виновником его падения был любимец наследника, камергер Брекдорф.
Алексей Петрович был удалён в принадлежащее ему село Горетово под Можайском Московской губернии. Его приговорили к смерти, но государыня заменила этот приговор ссылкой. Ссылка канцлера продолжалась до воцарения императрицы Екатерины II. Он был вызван в Петербург, и Екатерина возвратила опальному чины, ордена и переименовала в генерал-фельдмаршалы. Кроме того, последовал высочайший указ, в котором была обнародована невинность Бестужева-Рюмина.
С 1741—1757 годов Бестужев участвовал во всех дипломатических делах, договорах и конвенциях, которые Россия заключила с европейскими державами. В 1763 году он напечатал в Москве сочинённую им книжку «Утешение христианина в несчастии, или стихи, избранные из Священного Писания». Эту же книжку впоследствии Бестужев напечатал в Санкт-Петербурге, в Гамбурге и Стокгольме на французском, немецком и шведском языках. Преосв. Гавриилом она была переведена на латинский язык.
Бестужев-Рюмин, один из крупнейших российских дипломатов и государственных деятелей, по отзывам современников, обладал умом светлым и гибким, принадлежал к числу образованнейших людей своего времени (ему приписывают изобретение так наз. «бестужевских капель»), отличался трудолюбием, был чрезвычайно деятелен, не запятнал себя никакими «осязательными доказательствами милостивого расположения иностранных дворов», но, вместе с тем, горд, честолюбив, хитер, пронырлив, скуп, мстителен, неблагодарен, вел жизнь «невоздержанную» (был весьма неравнодушен к горячительным напиткам). Его более боялись, чем любили.
Канцлер Алексей Петрович Бестужев-Рюмин был женат на немке Анне Ивановне Беттихер (ум. в 1761 году), дочери российского дипломатического представителя в Гамбурге, получившей в 1748 году придворное звание гофмейстерины, имел трех сыновей. Из них двое, Петр, упоминаемый в письме отца от 1742 года, как совершеннолетний, и другой, имя которого неизвестно, умерли до 1759 года. Лишь один из сыновей, граф Андрей Алексеевич (1726—1768), достиг зрелых лет.
Алексей Бестужев фигурирует как один из персонажей серии романов Нины Соротокиной («Трое из навигацкой школы», «Свидание в Петербурге», «Канцлер») и популярной экранизации трилогии (режиссёр С.Дружинина) первой из них — «Гардемарины, вперёд!» 1987 года, «Виват, гардемарины!» 1991 года,«Гардемарины — III» 1992 года, где роль Бестужева исполнил Евгений Евстигнеев.
В 1751 году № 30 «Санкт-Петербургских ведомостей» вышел в свет 12 апреля. Когда утром в субботу 13-го числа первые подписчики знакомились с новостями, содержавшимися в нем, они, разумеется, не знали, что у номера должно быть продолжение, вернее «Прибавление», за скорейший выпуск которого в те часы развернулась нешуточная борьба. Канцлер Бестужев-Рюмин требовал от советника И. Д. Шумахера немедленно отправить в типографию рукопись приложения. Однако глава академической канцелярии воспротивился нарушению порядка, заведенного в его учреждении, и настаивал на отсрочке публикации материала.
Вечером 13 апреля оба высокопоставленных чиновника при личной встрече и объяснении окончательно разругались, после чего 15 апреля канцлер поневоле обратился за содействием к императрице Елизавете Петровне. Благодаря ее вмешательству «Прибавление» к № 30 петербуржцы, хоть и с опозданием, все-таки получили.