А. И. Недогонов родился 19 октября (1 ноября) 1914 года в городе Александровск-Грушевский (ныне город Шахты Ростовской области) в семье рабочего-кузнеца.
С 15 лет начал трудовой путь:работал плотником, крепильщиком, ремонтником, врубмашинистом на шахте. Учился в семилетке, в горнопромышленном училище. По приезде в Москву в 1932 году учился на рабфаке, затем в 1935—1939 годах учился в Литературном институте имени А. М. Горького.
Впервые начал печататься в 1934 году — в заводской газете-многотиражке «Вперёд». Систематическим литературным трудом А. И. Недогонов занимается с 1938 года. Его стихи печатались в «Комсомольской правде», журналах «Новый мир», «Знамя», «Звезда», «Смена», «Огонёк» и другие.
Участник советско-финляндской войны 1939—1940 годов (рядовой 241-го стрелкового полка), был тяжело ранен в руку под Выборгом. Во время Великой Отечественной войны в звании капитана военный корреспондент газеты «За нашу победу» (1-я гвардейская армия Западного фронта), с октября 1943 года — газеты «Советский воин» (3-й Украинский фронт). За две войны, которые поэт прошёл как воин и журналист, ему довелось побывать в Финляндии, Польше, Румынии, Болгарии, Югославии, Венгрии, Австрии, Чехословакии.
Член СП СССР с 1946 года.
Жизнь молодого поэта трагически оборвалась 13 марта 1948 года. Он был сбит трамваем и от полученных ранений скончался. Похоронен на Ваганьковском кладбище (участок № 17).
Алексей Недогонов был поэтом яркого, самобытного звучания, но неудачно сложившейся судьбы: при жизни он фактически не был оценён по заслугам и не увидел более или менее полного сборника своих поизведений. Единственная книга стихов поэта — «Простые люди» (1948) была опубликована посмертно. В поэме «Флаг над сельсоветом» автор обращается к судбам поколения, вернувшегося с фронта, о послевоенной деревне (широко известна цитата: «Из одного металла льют медаль за бой, медаль за труд…»).