Отца репрессировали в 1937 году. Во время блокады Ленинграда некоторое время провёл в детском доме. Закончил филологический факультет Педагогического института им. А. И. Герцена в Ленинграде. Был близким другом писателя и журналиста М. Р. Хейфеца.
Руководил литературным клубом «Дерзание» при Ленинградском Дворце пионеров. Под его руководством клуб превратился в центр интеллектуального противостояния начинающих литераторов советской системе образования. Из клуба «Дерзание» вышли Виктор Топоров, Николай Голь, Геннадий Григорьев, Римма Маркова, Николай Беляк, Сергей Стратановский, Виктор Кривулин, Елена Игнатова, Елена Шварц, Татьяна Калинина, Татьяна Котович, Татьяна Курочкина, Петр Чейгин, Людмила Зубова, Татьяна Царькова, Михаил Гурвич (Яснов), Евгений Пазухин, Николай Беляк, Евгений Вензель, Елена Мамаева, Алла Киселева, Елена Мейлих, Александр Боровский, Елена Пудовкина, Полина Безпрозванная, Наталья Абельская, Лев Лурье и многие другие.
В 1971 году был отстранен от работы во Дворце пионеров. Затем несколько месяцев работал школьным учителем. В декабре 1971 года, после неудачной попытки самоубийства, умер от воспаления лёгких. Похоронен на Северном кладбище Санкт-Петербурга.
Один из сыновей А. Адмиральского умер в 1990-х годах, другой — писатель Эйтан (Виктор) Адмиральский — живёт в Израиле.
По воспоминаниям друзей, главным литературным амплуа Адмиральского была фантастика, однако при жизни был опубликован лишь один его фантастический рассказ — «Гений» (другое название — «Последнее превращение Урга»), получивший вторую премию на международном литературном конкурсе, посвящённом 50-летию Ленинского комсомола. Рассказ был опубликован в журнале «Техника-молодёжи», а позднее — в сборнике «Фантастика-1968», а также в японском ежемесячнике «Советская литература» за 1969 год.
Сотрудничал с журналом «Звезда». Автор единственной книги «Рыцарь книги» (1970), написанной в соавторстве с Сергеем Беловым и посвящённой жизни и деятельности петербургского издателя Петра Петровича Сойкина. В рукописях остались небольшие повести о блокаде и о библиотеках.
Памяти Адмиральского посвятил своё стихотворение «Учитель» поэт Михаил Яснов.