Родился 5 (18) октября 1913 года в селе Мокрое ныне Сасовского района Рязанской области в семье крестьянина. Русский. Жил в Москве. Окончил школу ФЗУ Метростроя. В 1935—1938 годах проходил срочную службу в Красной Армии. После демобилизации работал на заводе слесарем. Перед войной жил в городе Чердынь Пермской области.
В июле 1941 года был вновь призван в армию Чердынским райвоенкоматом. В действующей армии с января 1942 года. В декабре 1943 года окончил Горьковское танковое училище. Продолжал службу командиром танка 28-го отдельного танкового полка. За образцовое выполнение боевых заданий в период Львовско-Сандомирской операции в сентябре 1944 года он был награждён орденом Красного Знамени и вскоре назначен командиром танковой роты. Особо отличился в боях за освобождение Польши и при форсировании Одера.
26 января 1945 года танковая рота лейтенанта Алеевского первой вышла к Одеру и овладела опорным пунктом противника в районе населенного пункта Любхен (ныне Любув, Польша), уничтожив 4 орудия, 3 БТР, миномётную батарею и большое количество живой силы противника. В последующем танкисты преодолели реку и прикрывали переправу подразделений бригады. Погиб в бою 30 января 1945 года.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 10 апреля 1945 года за мужество и героизм, проявленные при форсировании Одера и удержании плацдарма на его западном берегу, лейтенанту Алеевскому Алексею Ильичу посмертно присвоено звание Героя Советского Союза.
Из наградного листа:
Похоронен в населенном пункте Брёдельвитц (Бродовице, 6 км западнее города Хобеня, Польша). По другим данным — на воинском кладбище в селе Болеславице под городом Болеславец (возможно был позднее перезахоронен).