Родился в Саратове. Отец — Георгий Николаевич Свешников. Мать — Вера Константиновна Свешникова (Снитко).
Окончил московскую среднюю школу в 1941 году. Участник Великой Отечественной войны, в апреле 1945 года был тяжело ранен на 4-м Украинском фронте. Награжден орденами «Красная звезда» (1945) и «Отечественной войны 1 степени» (1995), медалью «За победу над Германией» (1945) и многими юбилейными медалями.
После демобилизации в 1945 году поступил на физический факультет Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, который окончил в 1950 году. После окончания университета до настоящего момента работает на физическом факультете МГУ.
Кандидат физико-математических наук (1953). Тема кандидатской диссертации: «Принцип излучения и единственность решения задач дифракции». Доктор физико-математических наук (1963). Тема докторской диссертации: «Методы исследования распространения колебаний в нерегулярных волноводах».
Профессор (1966). Заведующий кафедрой математики физического факультета МГУ (1971—1993). Действительный член Российской Академии Естественных Наук (1991).
Ученик А. Н. Тихонова. Развил эффективные алгоритмы исследования волноведущих систем, основанные на разработанных им проекционных методах решения широкого круга задач математической физики. Принимал активное участие в создании новых методов математического проектирования систем различного назначения. Работал над проблемой создания и алгоритмической реализации математических моделей физики плазмы и динамики сплошных сред, обратным задачам синтеза и распознавания многослойных оптических покрытий, прямым и обратным задачам теории дифракции и задачам распространения колебаний в волноведущих системах.
Подготовил 15 докторов и 45 кандидатов наук.
Автор свыше 400 научных работ, в том числе 6 монографий, монографических обзоров и 5 учебников и учебных пособий.