Родился 1 марта 1923 года в городе Ярославле в семье рабочего. Русский. Окончил среднюю школу. В Красной Армии с 1941 года. Окончил Челябинское танковое военное училище. Участник Великой Отечественной войны с 1941 года.
Командир тяжёлого танка «КВ» 344-го танкового батальона (91-я танковая бригада, 65-я армия, Донской фронт) комсомолец лейтенант Алексей Наумов в боях 13—14 января 1943 года под Сталинградом с экипажем уничтожил два вражеских танка, артиллерийскую батарею, четыре миномёта, пять пулемётов, одно противотанковое орудие, семь дзотов.
21 января 1943 года в бою за хутор Новая Надежда ныне Городищенского района Волгоградской области танк лейтенанта Наумова А. Ф. прорвался в тыл противника, но был подбит прямым попаданием. Танкисты (механик-водитель старшина Смирнов П. М., командир орудия младший сержант Норицын П. М., радист младший сержант Вялых Н. А., и, включённый в экипаж перед самым боем, заряжающий орудия сержант Ганус Ф. Г.) более пяти часов вели ожесточённый бой до последнего патрона. Фашисты облили танк бензином и подожгли его. Экипаж погиб…
Похоронен на хуторе Новая Надежда Городищенского района Волгоградской области.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 23 сентября 1943 года «за образцовое выполнение заданий командования и проявленные мужество и героизм в боях с немецко-фашистскими захватчиками» лейтенанту Наумову Алексею Фёдоровичу посмертно присвоено звание Героя Советского Союза.
Награждён орденом Ленина, орденом Красной Звезды.
На месте гибели экипажа установлен памятник. Герой Советского Союза лейтенант А. Ф. Наумов навечно зачислен в списки воинской части. В городе Ярославле, на улице, носящей имя Героя, установлена мемориальная доска. Мемориальная плита с именем А. Ф. Наумова установлена на Мамаевом Кургане в Волгограде.