Наибольшую известность актёру принесла роль комиссара Данилова в телефильме «На всю оставшуюся жизнь» режиссёра Петра Фоменко, поставленного по повести Веры Пановой «Спутники».
Алексей Сергеевич Эйбоженко родился 6 февраля 1934 года в Москве. В 1957 году окончил Высшее театральное училище имени М. С. Щепкина (курс В. Н. Пашенной, И. В. Полонской и Н. М. Гладкова).
С 1957 года — актёр Воронежского драматического театра имени М. Кольцова.
с 1964 года — актёр Академического театра имени Вл. Маяковского.
с 1967 года — актёр Академического Малого театра, на сцене которого сыграл более 20 ролей.
Умер 26 декабря 1980 года.
Жил и работал в Москве. Был женат. Вдова — Наталья Владимировна Кенигсон, в 1960—1980-х годах режиссёр литературно-драматической редакции «Останкино». Сын Алексей — теле- и радиожурналист. Тесть — Владимир Кенигсон, известный советский актёр.
У Алексея Эйбоженко богатая родословная. Его бабушка по отцовской линии, француженка, приходилась двоюродной племянницей писательнице Жорж Санд. Дедушка был состоятельным домовладельцем. Правда, в один роковой день он проигрался в карты в Дворянском собрании и застрелился.
Алексей Эйбоженко родился 6 февраля 1934 года. Ему было семь лет, когда грянула Великая Отечественная война. Отец ушёл на фронт и погиб на Курской дуге. Мама не смогла пережить этого горя и вскоре после этого умерла. Так, в раннем возрасте, Алексей стал сиротой.
Свои первые роли на сцене Алексей Эйбоженко сыграл, будучи студентом театрального училища им. М. С. Щепкина, где обучался на курсе Веры Николаевны Пашенной. Среди его работ были: Ромашов в «Двух капитанах» Каверина, Король в «Звезде Севильи» Лопе де Веги. А со спектаклем «Чужой ребенок» (роль — Караулов) Алексей Эйбоженко даже выезжал на целину.
Окончив в 1957 году «Щепку», Алексей Эйбоженко стал актёром Воронежского драматического театра имени М. Кольцова. Проработав там два года, он перешёл в Московский театр драмы и комедии на Таганке. Там Алексей и встретил свою любовь.
Наталья, как и Алексей, училась в училище им. Щепкина у Пашенной, только курсом позже. Пашенная постоянно восхищалась талантом Алексея Эйбоженко, поэтому Наталья была как бы заочно с ним знакома. Когда Наталья пришла работать в Театр на Таганке, она с удивлением узнала, что здесь работает тот самый Эйбоженко. «Он же человек-легенда! Покажите мне его!..», — воскликнула девушка. Она ожидала увидеть какого-то невероятного красавца, а перед ней предстал обычный парень, к тому же на два сантиметра ниже её. Но разве внешность является определяющей. Между молодыми людьми вспыхнула самая настоящая любовь.
У Натальи не сложилось в Театре на Таганке, и она вскоре оттуда ушла. У Алексея же, напротив, все шло неплохо — Любимов доверял молодому актёру. Но любовь оказалась сильнее, и Алексей, не раздумывая, ушёл вслед за Натальей. Ушел в никуда, на целых три года. Чтобы прокормить семью он стал сниматься в кино. Среди его первых работ на экране стали роли Лемешко в картине «Третий тайм» и Немы Брока в картине «При исполнении служебных обязанностей».
Алексей Сергеевич и Наталья Владимировна прожили вместе шестнадцать лет. Время не отразилось на их чувствах. По воспоминаниям их сына Алексея Эйбоженко-младшего, они очень любили друга друга: «Такое счастье бывает редко. Почти ни с кем не общались, даже в гости к нам никто не приходил, потому что им никто не был нужен. Однажды мать с отцом собрались на премьеру в Дом кино. Уже стояли в дверях, и вдруг отец говорит: „Мамочка, а может, не пойдем?“ Мама ответила: „Не пойдем…“ И они остались дома. <…> Ни мать, ни отец не могли долго сердиться друг на друга. Поругаются из-за какой-нибудь глупости, потом отец приходит: „Мамочка, прости! Я же сирота…“ — и тут же все обиды забывались».
В 1964 году Алексей Эйбоженко был принят в труппу Академического театра имени Вл. Маяковского. За недолгий период работы на этой сцене актёр сыграл несколько ролей, самой значимой среди которых стал Тарелкин в спектакле «Смерть Тарелкина» режиссёра П.Фоменко.
С 1967 года и до конца своих дней Алексей Эйбоженко работал в Академическом Малом театре. В Малом актёром была создана галерея разноплановых образов: Чезаре («Украли консула» Г. Мдивани), Зотов («Высшая мера» М. Маклярского и К. Раппопорта), Кропилкин («Дачники» М. Горького) и Юкки («Криминальное танго» Э. Ранета), Валерий («Твой дядя Миша» Г. Мдивани), Франц («Разбойники» Ф. Шиллера), Сергей Померанцев («Сын» А. Софронова), Франц Ковач («Пропасть» И. Дарвиша), Князь Василий Шуйский («Царь Федор Иоаннович» А. Толстого), Михаил Иванович («Растеряева улица» по Г. Успенского), Розенберг («Русские люди» К. Симонова), Пикалов («Любовь Яровая» К. Тренева), Эпифан Курдюков («Ивушка неплакучая»), Мавр («Заговор Фиеско в Генуе» Ф. Шиллера), Эрих Кламрот («Перед заходом солнца» Г. Гауптмана), Орас («Мамуре» Ж. Сармана), Алекс («Берег» Ю. Бондарева), Цветков «Человек и глобус» В. Лаврентьева, Неуеденов «Женитьба Бальзаминова» А. Островского и др.
Но наиболее полно актёрский талант Алексея Эйбоженко раскрылся в телевизионных спектаклях. Ещё в 1969 году критик Л. Булгак писала на страницах журнала «Театр» о его работе в телеспектакле «Барсуки» (режиссёры: Лидия Ишимбаева и Виктор Рыжков): «Надо сказать, что А. Эйбоженко кажется актёром совершенно телевизионным». Его герой, чахоточный кожемяка Ермолай Дугин, был сыгран лаконично, просто и в то же время емко. Актёр строил образ на контрастах между физической слабостью Ермолая и его душевной энергией, мягкой приветливостью нрава и способностью к самоотверженной борьбе с несправедливостью. Сам по себе такой подход к роли не нов, скорее традиционен для русской актёрской школы. Но в Эйбоженко подкупала та естественность и органичность, с которой он воплощал задуманное на экране, без театрального преувеличения или допустимой в кинематографе размытости образа".
Ещё один яркий образ — учитель Леонтий Козлов в телеспектакле «Обрыв», поставленном известным режиссёром Леонидом Хейфецем. Вот как пишет о той работе критик Анна Михалева: «В спектакле есть эпизод, памятный своей непривычностью, снятый одним длинным планом. Это диалог Райского (Э. Марцевич) с больным Леонтием. Скорее это даже исповедь-монолог, в котором вся эмоциональная нагрузка ложилась на Эйбоженко. В кадре — полулежащий Леонтий, крупным планом — его лицо. Он рассказывает о побеге жены, об ожидании ее возвращения. В таком решении, когда едва уловимый поворот головы или глаз — уже мизансцена, Эйбоженко существовал легко и естественно. Рамки кадра и близость камеры, минимум выразительных средств, которыми может воспользоваться актёр в подобном положении, не сковывали свободы его эмоций, опирающихся на подлинное чувство и мысль, отражая малейшие движения души его героя. Он сыграл в этой сцене одновременно и любовь, и боль, и отчаяние, и надежду, и болезнь».
Герои Алексея Эйбоженко всегда приковывали внимание зрителя, будь то главная роль, или эпизод. Впрочем, для актёра не существовало таких различий, он и эпизодические роли наполнял живым, конкретным содержанием. Голос, взгляд, пластика — все в Алексее Эйбоженко отмечало Мастера с большой буквы.
Алексея Эйбоженко можно с полным основанием назвать телевизионным актёром. Телеспектакли и телевизионные художественные фильмы были его стихией. Одна из самых известных ролей Алексея Эйбоженко — комиссар Иван Егорович Данилов в телефильме «На всю оставшуюся жизнь», поставленном в 1975 году режиссёром Петром Фоменко. В фильме рассказывалось о санитарном поезде, его врачах, медсестрах, раненных бойцах и командирах. Такое переплетение судеб различных людей, и в центре повествования — герой Алексея Эйбоженко, как мерило доброты и честности для окружающих.
Немало Алексей Эйбоженко снимался на киностудиях нашей страны. Его нередко приглашали в военные, шпионские, приключенческие ленты. Так в 1966 году в фильме режиссёра Дамира Вятич-Бережных «По тонкому льду», рассказывающем о борьбе работников органов госбезопасности против иностранной разведки в предвоенные годы и в годы Великой Отечественной войны, Эйбоженко сыграл главную роль сотрудника НКВД Андрея Трапезникова.
В том же году актёр создал образ следователя госбезопасности Константина Лежнева в захватывающем шпионском фильме Анатолия Бобровского «Человек без паспорта». У режиссёра Адольфа Бергункера Алексей Эйбоженко сыграл революционера Васильича в фильме «Мятежная застава» и командира партизанского отряда Деда в фильме «Дорога на Рюбецаль», а у Вилена Азарова — полковника Винникова в фильме о советских разведчиках «Бой после победы». Довелось актёру поучаствовать и в знаменитой ленте Татьяны Лиозновой «Семнадцать мгновений весны», где он сыграл Макса Гюсмана.
Среди других работ актёра на эту тематику: Степан Лукич Воронецкий в военной ленте Михаила Пташука «Время выбрало нас», следователь КГБ майор Бахтин в фильме «Тайник у Красных Камней», полковник Николай Осинцев в фильме Владимира Савельева о работе угрозыска и работниках КГБ «Выгодный контракт», бывший майор авиации Александр Фёдорович Зверев в героико-приключенческом фильме Антонис-Яниса Воязоса "Вариант «Омега», танковый командир Бородин в военном фильме Дамир Вятич-Бережных «Корпус генерала Шубникова», Александр Цыганков в военном фильме немецкого режиссёра Конрада Вольфа «Мне было девятнадцать» (за эту работу актёр был удостоен Государственной премии ГДР).
Алексей Эйбоженко скончался 26 декабря 1980 года. Похоронен на Ваганьковском кладбище, на 58-м участке, рядом с тестем В.Кенигсоном. Сын Алексея Сергеевича — Алексей Эйбоженко-младший — актёр и телеведущий.