А. Д. Сперанский родился 30 декабря 1887год (11 января 1888 год)а в Уржуме (ныне Кировская область). В 1906 году по окончании Казанской гимназии поступил на медицинский факультет Казанского университета, который c отличием окончил в 1911 году. С 1913 года доктор медицины, а с 1920 года — профессор кафедры оперативной хирургии и топографической анатомии Иркутского университета. Во время Первой мировой войны военный врач. В 1923—1928 годах ассистент И. П. Павлова. С 1926 года организатор и руководитель экспериментального отдела в Ленинградском институте хирургической невропатологии. В 1928—1934 годах отделами патофизиологии Ленинградского ИЭМ и (с 1934 года) патологии ВИЭМ в Москве. С 1945 года директор института общей и экспериментальной патологии АМН СССР. С 1954 года заведующий отделом общей патологии Института нормальной и патологической физиологии АМН СССР.
А. Д. Сперанский умер 23 июля 1961 года. Похоронен в Москве на Ваганьковском кладбище.
А. Д. Сперанский — представитель нервизма. Его основные труды посвящены роли нервной системы в происхождении, механизмах развития, течения и исходов различных патологических процессов; методологии патологии и экспериментальной терапии. Работами Сперанского и его школы вскрыты общие закономерности и особенности течения так называемх нервных дистрофий, установлена роль нервной системы в компенсации нарушенных функций, процессах выздоровления.
Во время Великой Отечественной войны А. Д. Сперанский передал присуждённую ему Сталинскую премию в Фонд обороны:
Газета «Известия», 25 марта 1943 года.