В 17 лет уехал в Грецию, по контракту с «Олимпиакосом», где получил гражданство и фамилию Аманатидис. Его первым взрослым тренером стал Душан Ивкович. В 2000 году игрок изъявил желание выступить на Олимпийских играх в Сиднее за Россию, но, поскольку он также имел греческое гражданство, пришлось добиваться разрешения ФИБА, хотя до этого, ещё в 1994 году, он выступал за юниорскую команду России на континентальном первенстве. Затем и «Олимпиакос» воспротивился такому желанию своего центрового Аманатидиса, так как в чемпионате Греции был введён лимит на легионеров, которым бы игрок автоматически стал. На тот момент Алексис был игроком «скамейки» в греческом клубе. В июне того же года центровой выставил свою кандидатуру на драфт НБА, где не был выбран ни одним из клубов. После неудачной попытки сменить Европу на США, в 2001 россиянин отправился в греческий «Перистери», где провел один год, а в следующем сезоне опять был возвращен в «Олимпиакос», став обладателем Кубка Греции-2002. В 2003 году Саврасенко пригласили в московский ЦСКА. Армейский клуб являлся многолетним лидером российского баскетбола и в своем первом же сезоне игрок стал чемпионом России. В последующие годы команда вместе с Алексеем успешно подтверждала это звание, не уступив титул ни разу какому-либо другому клубу. В 2006 году ЦСКА выиграл Евролигу. И в этом успехе немалая доля заслуг принадлежит и Саврасенко. В 2007 году Алексей в составе сборной России стал чемпионом Европы. В 2009 году Саврасенко был отчислен из ЦСКА, так как он был недоволен количеством предоставляемого ему игрового времени, а затем отдан в аренду в питерский «Спартак». В 2009 году подписал контракт с московским «Динамо» на один год.. Летом 2010 года состоялся трансфер Алексея Саврасенко в БК «Химки». По окончании сезона 2010/11 перебрался в казанский УНИКС.
Женат, воспитывает двух дочерей. В интервью официальному сайту БК «Химки» признался, что любит отечественный кинематограф, а также рассказал о том, что его хобби — рыбалка.