Алексей Гегечкори родился 23 ноября (5 декабря) 1887 года в дворянской семье в селе Наогалези (близ Мартвили) Сенакского уезда Кутаисской губернии.
С 1902 года участвовал в революционном движении. В коммунистическую партию вступил в 1908 году. Вёл агитационную и партийную работу в Тифлисе, Баку, Челябинске, Мингрелии, Ростове-на-Дону. В Кутаиси в 1917 году участвовал в создании Бюро большевиков.
В 1918 году становится председателем боевого штаба Западно-Грузинского комитета партии. Являлся одним из организаторов восстания против меньшевистского правительства Грузии. Был тяжело ранен в бою с белогвардейцами в Терской области.
Награжден орденом Красного Знамени.
Алексей Александрович Гегечкори, страдая от тяжелейших нервных припадков, являющихся результатом тяжёлого ранения в 1918 году, 7 июня 1928 года покончил с собой в Тифлисе.