Б. А. Алексеев родился 14 (27) апреля 1911 года, (по другим источникам - 13 (26) апреля 1911 года) в деревне Байсубаково, ныне Чебоксарского района Чувашской республики, Россия).
С 1929 года в труппе Чувашского театра (ныне Чувашский ГАТД имени К. В. Иванова).
В 1932 году окончил театральный техникум в Чебоксарах.
В произведениях национальной чувашской драматургии сыграл роли: Асмат («Садур и Идем» И. С. Максимова-Кошкинского), Энтип (одноименная пьеса В. Т. Ржанова), Меркурьев («Волна Октября» А. Д. Калгана).
Среди других лучших ролей Алексеева: Павел Корчагин («Как закалялась сталь», по Н. А. Островскому), Сергей Тюленин («Молодая гвардия», по роману А. А. Фадеева), Авдей Спиридонович («Свадьба с приданым» Н. М. Дьяконова), Лука, Перчихин, Старик («На дне», «Мещане», «Старик» М. Горького), Хлестаков («Ревизор» Н. В. Гоголя), Бальзаминов, Аркашка Счастливцев («Женитьба Бальзаминова», «Лес» А. Н. Островского), Яго («Отелло» Шекспира).
Создал на чувашской сцене образ В. И. Ленина в спектаклях «Человек с ружьем» Н. Ф. Погодина, «Именем Революции» М. Ф. Шатрова.
Б. А. Алексеев умер 3 мая 1973 года в Чебоксарах.