Выросла в заволжском селе Зубовко. Работала в колхозе, затем на Сталинградском мясокомбинате. Накануне войны работница лесопосадочной МТС в Сталинградской области.
С началом Сталинградской битвы участвовала в строительстве оборонительных сооружений, затем работала санитаркой в подразделениях 62-й армии, выносила с поля боя раненых.
С 1943 года — работница детского сада № 38.
В июне 1943 года, сразу же после разгрома немецко-фашистских войск под Сталинградом, организовала женскую добровольческую бригаду строителей. В свободное от основной работы время бригада восстанавливала родной город. Женщины разбирали завалы, ремонтировали, приводили в порядок разрушенные здания. Бригадой Черкасовой одним из первых восстановлен «Дом Павлова».
15 июня 1943 года газета «Сталинградская правда» опубликовала призыв бригады А.М. Черкасовой последовать их примеру. Этот призыв был подхвачен и других городах страны, разрушенных войной. Движение, названное черкасовским, стало всенародным.
Член КПСС с 1947 года.
Свыше 20 лет Александра Максимовна работала в жилищно-коммунальной службе города, возглавляла комплексную бригаду дворников. Она вела непримиримую борьбу с теми, кто бездумно расходовал воду и электроэнергию. По ее инициативе проводились рейды бережливости.
Звание «Почетный гражданин города-героя Волгограда» присвоено Александре Максимовне Черкасовой решением Волгоградского городского Совета народных депутатов от 3 июля 1987 года за особые заслуги по восстановлению города.
Скончалась 5 июня 1993 года. Похоронена в Волгограде на Центральном кладбище.