Родился в Гродно в семье заслуженного учителя БССР. Отец — Владимир Иванович Баран, мать Мария Александровна Милинкевич. В шестнадцатилетнем возрасте сменил фамилию Баран на Милинкевич. Его прадед и прапрадед участвовали в восстании 1863—1864 гг. и были за это репрессированы царскими властями. Дед Милинкевича был активистом белорусского движения на Гродненщине в 1920-х гг.
В 1965 году Милинкевич с отличием окончил школу, в 1969 — физико-математический факультет Гродненского педагогического института. Работал школьным учителем в Гродно. После окончания аспирантуры Института физики АН БССР в 1972 году, работал младшим научным сотрудником.
В 1976 году защищает диссертацию по теме «Механизм генерации сверхмощных лазерных импульсов» и возвращается в Гродно, где работает инженером и преподаёт в педагогическом институте. С 1978 по 2000 год — доцент физического факультета Гродненского университета. С 1980 по 1984 год — заведующий кафедрой физики в Сетифском университете (Алжир).
В более поздние годы Александр Милинкевич стажировался в университете Монпелье (Франция) и Калифорнийском университете (США), Польше по проблемам местного самоуправления, государственного строительства экономических реформ и прав человека, изучал современные методы образования в Великобритании и опыт развития спорта в Канаде.
Прошёл курс обучения высших управленческих кадров в Европейском центре проблем безопасности (Германия). Стажировался в учреждениях Европейского союза по вопросам функционирования и расширения (Бельгия, Нидерланды, Франция). Выступал с аналитическими докладами в Европарламенте и Еврокомиссии.
Автор 65 научных работ и монографий по квантовой электронике, лазерной технике; а также истории, культуре, образованию, архитектуре Беларуси.
Кроме родного белорусского, свободно владеет также русским и тремя иностранными языками (английским, французским, и польским).
В 1990—1996 гг. Александр Милинкевич занимал пост заместителя председателя Гродненского горисполкома, где занимался вопросами образования, культуры, здравоохранения, молодёжи, спорта, СМИ, религии, международных отношений и охраны исторического наследия.
В 2001 году — руководитель предвыборной кампании кандидата в президенты Белоруссии Семёна Домаша.
В октябре 2005 года Александр Милинкевич стал единым кандидатом от демократической оппозиции на президентских выборах 2006 года. Проиграл выборы действующему главе государства Александру Лукашенко. Наблюдатели и организации стран Западной Европы, отметили, что в ходе голосования власти допускали массовые фальсификации и нарушали закон. 26 апреля 2006 года после митинга, посвященного памяти жертв Чернобыльской трагедии, Александр Милинкевич был арестован на 15 суток (официальная формулировка причины ареста: за организацию несанкционированных акций протеста против официальных результатов выборов и политики властей в деле ликвидации последствий катастрофы на ЧАЭС).
В интервью, данном им в январе 2008 Милинкевич заявил о своём желании баллотироваться на следующих президентских выборах в 2011 и сообщил что его рейтинг составляет 9,8 %
26 октября 2006 стал лауреатом премии имени Андрея Сахарова, которую ежегодно присуждает Европарламент. Премия «За свободу мысли» учреждена Европарламентом в 1988 году и присуждается ежегодно за «достижения в деле защиты прав человека и его основных свобод, а также за уважение международного законодательства и развитие демократии».
Перед выборами 2010 года заявил о своем намерении вновь выдвинуться кандидатом в президенты, однако впоследствии снял свою кандидатуру и поддержал Григория Костусева.
Александр Милинкевич — краевед и историк. На протяжении 10 лет был автором и ведущим исторической передачи на гродненском телевидении. Занимался восстановлением гродненских башенных часов — одних из самых старых в Европе (XV—XVI век).
Инициатор поисков и изучения остатков захоронения последнего короля Речи Посполитой Станислава Августа Понятовского.
С 1996 года — глава гродненского общественного объединения «Ратуша», которое было ликвидировано в 2003 году.
Член Международной федерации журналистов.
В 1968—1969 гг. Милинкевич был чемпионом БССР по баскетболу. В 1996—1997 гг. президент баскетбольного клуба «Гродно-93» — многократного чемпиона страны.
С 2003 года — руководитель программ Фонда содействия локальному развитию.
Лидер движения «За свободу».
Женат, имеет двух сыновей и внучку.