Воспитанник групп подготовки при орехово-зуевской команде «Знамя труда» и московской СДЮШОР «Динамо».
После проигрыша сборной СССР первого матча на чемпионате мира 1990 года (0:2 со сборной Румынии), где основным вратарем был Ринат Дасаев, провел два следующих матча группового турнира (Аргентина — 0:2, Камерун — 4:0). После ЧМ-90 стал одним из основных вратарей сборной СССР, пока играл на родине.
Во время чемпионата Европы 1992 года не был включен в заявку сборной СНГ: в то время заявка сборных команд на Чемпионат Европы могла включать лишь 20 футболистов, что предполагало присутствие в ней только двух вратарей — в сборной СНГ на ЧЕ-92 этими двумя вратарями были Дмитрий Харин и Станислав Черчесов. Тем не менее Уваров имел официальный статус резервного вратаря.
B 1991 году был приглашён в «Маккаби» Тель-Авив, где играл на протяжении 9 сезонов. После окончания игровой карьеры в 2003 году принял израильское гражданство и остался с семьёй в Израиле. Тренер вратарей футбольного клуба Маккаби Тель-Авив и сборной Израиля по футболу.
Живёт в городе Холоне. Жена Люба, дочь Олеся, сын Евгений.