В ДЮФЛ выступал за сумские клубы «Смена» и «СЕРЖ». В 2003 году находился в составе любительского клуба «Сумыгаз». Летом 2004 года перешёл в сумский «Спартак». В команде в Первой лиге дебютировал 5 июня 2005 года в матче против стрыйского «Газовика-Скала» (2:0), Бандура вышел на 88 минуте вместо Сергея Вокальчука. После играл за «Явор» (Краснополье).
В феврале 2008 года перешёл в симферопольскую «Таврию», получил 12 номер. В Высшей лиге дебютировал 20 сентября 2008 года в матче против криворожского «Кривбасса» (1:1), в этом матче он пропустил гол с пенальти на 50 минуте от албанца Дориана Бюлюкбаши. 25 октября 2008 года в матче против киевского «Динамо» (1:3), отбил 2 пенальти от Исмаэля Бангуры и Артёма Милевского. В ноябре 2008 года продлил контракт с «Таврией» на 2 года.
Летом 2009 года перешёл на правах аренды в «Крымтеплицу» из Молодёжного. Хотя был на просмотре в донецком «Металлурге». В команде дебютировал 17 июля 2009 года в матче против бурштынского «Энергетика» (0:1). В начале декабря 2009 года Бандура разорвал контракт с «Таврией».
В начале 2011 года подписал трёхлетний контракт с донецким «Металлургом».
Любимый футболист Александра — голландец Эдвин ван дер Сар.