Внук Председателя Совета Министров СССР И. В. Сталина.
Родился 14 октября 1941 года в Куйбышеве, в семье Василия Сталина и его жены, Галины Бурдонской.
Окончил Калининское суворовское училище и режиссёрский факультет ГИТИСа. Также поступил на актёрский курс студии при театре «Современник» к Олегу Николаевичу Ефремову.
По окончании ГИТИСа в 1971 году Бурдонского приглашает играть шекспировского Ромео Анатолий Эфрос в театр на Малой Бронной. Спустя три месяца Мария Кнебель зовёт в Театр Армии ставить спектакль «Тот, кто получает пощечину» Леонида Андреева, в котором сыграли Андрей Попов и Владимир Зельдин. После осуществления этой постановки в 1972 году главный режиссёр ЦТСА Андрей Алексеевич Попов предложил А.В. Бурдонскому остаться в Театре Армии.
В течение десяти лет вместе с Элиной Быстрицкой преподавал в ГИТИСе (РАТИ).
Был женат на своей однокурснице Дале Тумалявичуте, которая работала главным режиссёром Молодежного театра.