Александр Беленов — воспитанник футбольного интерната клуба «Салют». В 2004 году он дебютировал в основном составе этой команды во Втором дивизионе. Зимой 2006 года Беленов тренировался с дублирующим составом казанского «Рубина», но контракт с ним подписан не был из-за слишком завышенной цены, выставленной «Салютом». В 2007 году в серии послематчевых пенальти с «Томью» Беленов сумел отбить два одиннадцатиметровых удара.
В августе 2010 года Беленову было сделано предложение от московского «Спартака», наблюдавшего за голкипером с товарищеской игры с «Салютом» на подготовительных сборах к сезону-2010, завершившуюся вничью 0:0. 13 августа Беленов подписал 4-летний контракт со «Спартаком», заплатившим за трансфер вратаря 150 тыс. долларов:
28 августа 2010 года Александр дебютировал в составе московского «Спартака» в матче 19-го тура РФПЛ против «Терека», пропустив при этом 2 гола, в которых не было его прямой вины. Главному тренеру команды, Валерию Карпину, понравилась игра Беленова в дебютном матче на выходах.
28 июня 2011 года было сообщено, что была достигнута договорённость о переходе Александра в «Кубань», в расположение которой он уже прибыл, и в случае успешного прохождения углублённого медицинского осмотра на следующий день, должен был подписать контракт с клубом, что в итоге и произошло, срок соглашения составил 3,5 года. По словам Валерия Карпина, «Спартак» решил дать добро на совершение данного перехода, поскольку учёл как желание самого футболиста, так и то, что предложение «Кубани» устроило московский клуб.
Беленов выступал в составе юношеской сборной России до 18 лет в 2004 году на мемориале Гранаткина, в котором национальная команда одержала победу, Александр являлся основным вратарём сборной.