Родился 5 августа 1924 года в селе Елшанка (ныне Николаевского района Ульяновской области) в семье рабочего. По национальности русский. Окончил 8 классов.
В Красной Армии с августа 1942 года.
В действующей армии с августа 1943 года. В 1944 году окончил курсы младших лейтенантов в городе Моршанске Тамбовской области.
12 января 1945 года стрелковый взвод 4-го гвардейского стрелкового полка (6-я гвардейская стрелковая дивизия, 13-я армия, 1-й Украинский фронт) под командованием гвардии младшего лейтенанта Александра Акимова ворвался во вражескую траншею в районе юго-восточнее польского города Кельце, уничтожив две огневые точки и несколько гитлеровцев. Через два дня командир взвода А. В. Акимов лично подбил артиллерийское орудие и с бойцами истребил до взвода фашистов. В ночь на 27 января 1945 года он одним из первых переправился через реку Одер в районе города Штейнау (ныне Сцинава, Польша) и участвовал в боях по захвату и расширению плацдарма.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 10 апреля 1945 года за образцовое выполнение боевых заданий командования и проявленные мужество и героизм в боях с немецко-фашистскими захватчиками младшему лейтенанту Акимову Александру Васильевичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина (№ 56171) и медали «Золотая Звезда» (№ 8147).
После войны А. В. Акимов работал на фабрике в посёлке имени Ленина Барышского района Ульяновской области. Скончался 12 марта 1966 года.