Родился 3 апреля 1934 года в Орджоникидзе в семье потомственного железнодорожника. После окончания средней школы в Алагире в 1952 году получил высшее образование в Северо-Кавказском горно-металлургическом институте, который окончил в 1957 году. В том же году был избран первым секретарем Орджоникидзевского горкома ВЛКСМ.
В 1958 году переведён на работу в Москву на должность ответственного организатора ЦК ВЛКСМ. В 1962 году избран ответственным секретарём Комитета молодёжных организаций СССР. В 1963—1964 годах находился в Республике Куба в качестве руководителя группы специалистов, в задачу которой входило оказание помощи в реализации программы административно-территориального деления. По возвращении назначен первым заместителем председателя Комитета молодёжных организаций СССР.
В 1967 году избран первым секретарём Советского Комитета солидарности стран Азии и Африки, а затем — первым заместителем председателя Комитета, и в этом качестве работал до 1986 года.
В 1986 году был назначен Чрезвычайным и полномочным послом СССР в Сирийской Республике. По завершении этой дипломатической миссии в 1988 году был удостоен высшей награды Сирийской Республики.
В 1988 году возвратился на работу в Северную Осетию, избран первым секретарём Северо-Осетинского обкома КПСС. Занимал должность до 1990 года.
В 1989 году был избран народным депутатом СССР по территориальному округу № 379 (Северо-Осетинская АССР). Вошёл в Депутатскую группу коммунистов. В 1990 году, будучи депутатом Верховного Совета, избран членом Президиума Верховного Совета Союза ССР, председателем Комитета по международным делам Верховного Совета. В июне 1990 года на XXVIII съезде КПСС был избран членом Политбюро и секретарём ЦК КПСС.
Находясь более 28 лет в сфере внешнеполитической деятельности, посетил с официальными и рабочими миссиями 73 государства. Неоднократно участвовал в работе ООН, возглавлял советские и российские делегации на международных и общероссийских форумах. Был сопредседателем Международной ассоциации «За диалог и сотрудничество в Азиатско-Тихоокеанском регионе», заместителем председателя межпарламентской группы Российской Федерации.
12 декабря 1993 года был избран депутатом Государственной думы первого созыва по Северо-Осетинскому избирательному округу № 22. В январе 1994 года — декабре 1995 года был членом Комитета по международным делам, председателем подкомитета по проблемам ООН и других международных организаций, а также по межпарламентскому сотрудничеству. В начале 1994 года Дзасохов стал во главе группы депутатов от автономий численностью 22 парламентария. Однако группа не прошла регистрацию, не преодолев барьер численности (35 депутатов), поэтому вошла в состав депутатской группы «Новая региональная политика». 8 декабря 1995 года Дзасохов заявил об отказе от депутатского мандата в знак протеста против принятия законопроекта, который поддерживал территориальные претензии Ингушетии к Северной Осетии.
В декабре 1995 года избран депутатом Государственной думы второго созыва по Северо-Осетинскому избирательному округу № 21. С января 1996 года по февраль 1998 года — член Комитета по международным делам. Был заместителем председателя Межпарламентской группы Российской Федерации. В январе 1996 года входил в депутатскую группу «Российские регионы» (до её регистрации), но 16 января 1996 года перешёл в группу «Народовластие».
28 декабря 1996 года утверждён членом Межведомственной комиссии Российской Федерации по делам Совета Европы (по согласованию). С апреля 1997 года — руководитель делегации Федерального собрания Российской Федерации в Парламентской ассамблее Совета Европы.
18 января 1998 года избран президентом Республики Северная Осетия-Алания, выиграв с огромным преимуществом выборы у тогдашнего главы республики Ахсарбека Галазова (77 % голосов против 10 %). В связи с избранием 11 февраля 1998 года Дзасохов досрочно сложил полномочия депутата Госдумы. 31 мая 2005 года после встречи Александра Дзасохова с полномочным представителем президента РФ в Южном федеральном округе Дмитрием Козаком было объявлено о досрочной отставке Дзасохова, которая стала неизбежной после трагедии в Беслане (сентябрь 2004). Тогда, в том числе из-за несогласованности действий властей, погибло 332 заложников, удерживавшихся бандой террористов в здании школы № 1 этого североосетинского города. В последующие месяцы по Северной Осетии прокатилась волна акций протеста с требованиями отставки президента. Федеральные власти, однако, категорически отказались «идти на поводу у толпы», считая, что отставка под давлением общественности может спровоцировать цепную реакцию по всему Северному Кавказу.
В то же время, главной причиной отставки называют не бесланскую трагедию, расследование которой ещё не завершено, а отказ Дзасохова подписать в апреле 2005 подготовленный под руководством Дмитрия Козака план первоочередных действий по урегулированию осетино-ингушского конфликта октября-ноября 1992 года. План предусматривал возвращение оставшихся ингушских беженцев в Пригородный район Северной Осетии (часть беженцев была возвращена ранее). Президент Дзасохов объяснил свой отказ тем, что активизация процесса возвращения беженцев после бесланского теракта, в организации которого принимали участие ингуши, могла бы, по его мнению, спровоцировать новую волну напряжённости. Другой версией отставки Дзасохов является, что она случилась не по решению Москвы, а под давлением со стороны ближайших коллег Дзасохова и прежде всего тогдашнего председателя парламента республики Таймураза Мамсурова, дети которого пострадали в захвате заложников в Беслане и который сменил Дзасохова на посту главы республики.
В 2005—2010 годах — член Совета Федерации Федерального Собрания Российской Федерации — представитель от органов исполнительной власти Республики Северная Осетия — Алания. Председатель Комиссии Совета Федерации по культуре, член Комитета Совета Федерации по международным делам.
Заместитель председателя Комиссии Российской Федерации по делам ЮНЕСКО.
Доктор политических наук, кандидат исторических наук, автор ряда монографий и многочисленных публикаций. Владеет несколькими иностранными языками. Член Российской Академии творчества. В 1973 году защитил кандидатскую диссертацию «Процессы становления молодых независимых государств» (в заочной аспирантуре АОН при ЦК КПСС).
Женат, имеет двоих сыновей.