В 1930 году поступил на курсы при Московском учебном комбинате связи, затем — в институт. После окончания в 1939 Московского института инженеров связи работал на одном из предприятий Москвы, откуда в 1939 году по партийной разнарядке был направлен в органы внешней разведки Главного управления госбезопасности при НКВД СССР. В 1939—1940 годах обучался в Школе особого назначения НКВД.
В феврале 1941-го прибыл в США для работы в нью-йоркской резидентуре. За 6 лет работы добыл и передал на Родину большое количество секретной информации, преимущественно военного характера.
В 1947—1950 годах работал в лондонской резидентуре. В Лондоне, в частности, поддерживал оперативный контакт с Клаусом Фуксом, от которого была получена важная информация по атомной тематике, в том числе по устройству водородной бомбы. После провала и ареста Фукса в апреле 1950 года Феклисов вернулся в Москву и был назначен заместителем начальника американского отдела Первого Главного управления КГБ СССР (внешняя разведка); с 1955 года — начальником американского отдела.
В 1960—1964 годах под именем Александр Фомин возглавлял главную резидентуру КГБ в Вашингтоне. Сыграл важную роль в урегулировании Карибского кризиса 1962 года. Феклисов вступил в контакт с корреспондентом телекомпании ABC News Джоном Скали, который передал ему предложение руководства Соединенных Штатов по урегулированию кризиса, а именно: удаление советских ракет с Кубы в обмен на неприкосновенность режима Кастро. Именно это предложение и стало основой для урегулирования кризиса.
После возвращения из Вашингтона работал в Краснознамённом институте КГБ при Совете министров СССР. С 1974 года — в отставке.
Похоронен в Москве на Троекуровском кладбище.